 |
A C. 1687. feladat (2021. október) |
C. 1687. Egy bevásárlószatyorban találtunk három bevásárló listát. Az első listán 23 zsömle, 13 alma és 15 tojás szerepelt, a másodikon 9 zsömle, 3 alma és 28 tojás, a harmadikon pedig 25 zsömle, 18 alma és 11 tojás. Az első listán lévő árukért 2021 forintot fizettünk, a másik két bevásárlásért pedig 2031, illetve 2041 forintot, de nem tudjuk, melyik összeg melyik vásárláshoz tartozik. Minden termék darabára pozitív egész szám. Mi mennyibe került?
Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Jelölje a zsömle, az alma és a tojás árát rendre \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\). A következő három egyenlet írható fel:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 23a+13b+15c=2021,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 9a+3b+28c=2031\textrm{ vagy }2041,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 25a+18b+11c=2041\textrm{ vagy }2031.\) |
A 3) egyenletből az 1)-et kivonva:
\(\displaystyle 2a+5b-4c=20\textrm{ vagy }10,\)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle 5b=4c-2a+(20\textrm{ vagy }10).\) |
Az 1) egyenletből kivonva a 2) egyenletet, majd behelyettesítve az előbb \(\displaystyle 5b\)-re kapott kifejezést:
\(\displaystyle 14a+10b-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)
\(\displaystyle 14a+2(4c-2a+(20\textrm{ vagy }10))-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)
\(\displaystyle 14a+8c-4a+(40\textrm{ vagy }20)-13c=-10\textrm{ vagy }-20,\)
\(\displaystyle 10a-5c+(50\textrm{ vagy }40)=0,\)
\(\displaystyle 2a-c+(10\textrm{ vagy }8)=0,\)
\(\displaystyle c=2a+(10\textrm{ vagy }8).\)
Ezt behelyettesítve a 4) egyenletbe:
\(\displaystyle 5b=4(2a+(10\textrm{ vagy }8))-2a+(20\textrm{ vagy }10)=\)
\(\displaystyle =8a+(40\textrm{ vagy }32)-2a+(20\textrm{ vagy }10)=6a+(60\textrm{ vagy }42),\)
\(\displaystyle b=1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4).\)
Végül a \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle c\)-re kapott kifejezéseket az 1) egyenletbe visszaírva:
\(\displaystyle 23a+13(1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4))+15(2a+(10\textrm{ vagy }8)=2021,\)
\(\displaystyle 68,6a+(306\textrm{ vagy }229,2)=2021,\)
\(\displaystyle 68,6a=1715\textrm{ vagy }1791,8.\)
Az első esetben \(\displaystyle a=\frac{1715}{68,6}=25\), a második esetben nem egész értéket kapunk. Ha \(\displaystyle a=25\), akkor \(\displaystyle c=2a+10=60\) és \(\displaystyle b=1,2a+12=42\).
Tehát a zsömle 25 Ft, az alma 42 Ft, a tojás pedig 60 Ft volt.
2. megoldás. A zsömle, az alma, illetve a tojás árát jelölje rendre \(\displaystyle z\), \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle t\). A megadott feltételek alapján
\(\displaystyle 23z+13a+15t=2021\)
és
\(\displaystyle 9z+3a+28t=2031\text{ vagy } 2041,\)
\(\displaystyle 25z+18a+11t=2041\text{ vagy }2031.\)
A harmadik egyenlethez a második egyenlet 2-szeresét és az első egyenlet 3-szorosát adva a következő egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle 112z+63a+112t=12166\text{ vagy }12176.\)
Mivel \(\displaystyle z,a,t\) egész számok, ezért
\(\displaystyle 112z+63a+112t=7(16z+9a+16t)\)
biztosan 7-tel osztható, azonban 12166 és 12176 közül csak a \(\displaystyle 12166=7\cdot 1738\) osztható 7-tel. Ez az eset annak felel meg, amikor a második listán lévő árucikkekért fizettünk 2031 forintot és a harmadikon lévőkért 2041 forintot. Tehát az egyenletrendszer, amit meg kell oldanunk:
\(\displaystyle 23z+13a+15t=2021\)
\(\displaystyle 9z+3a+28t=2031\)
\(\displaystyle 25z+18a+11t=2041\)
Vonjuk ki a második egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 9-szeresét:
| \(\displaystyle -48a+509t=28524.\) | \(\displaystyle {(*)}\) |
Ehhez hasonlóan, vonjuk ki a harmadik egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 25-szörösét:
| \(\displaystyle 89a-122t=-3582\) | \(\displaystyle {(**)}\) |
Most pedig \(\displaystyle (*)\) 89-szorosát és \(\displaystyle (**)\) 48-szorosát adjuk össze:
\(\displaystyle 39445t=2366700,\)
amiből a tojás ára
\(\displaystyle t=60.\)
Ezt (például) \(\displaystyle (*)\)-ba visszahelyettesítve kapjuk, hogy az alma ára
\(\displaystyle a=\frac{122t-3582}{89}=\frac{122\cdot 60-3582}{89}=42.\)
Végül, (például) az eredeti első egyenletből a zsömle ára
\(\displaystyle z=\frac{2021-13a-15t}{23}=25.\)
Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve látható, hogy \(\displaystyle z=25,a=42,t=60\) mellett mindhárom egyenlet valóban teljesül.
Tehát a zsömle ára 25 forint, az almáé 42 forint, a tojásé pedig 60 forint.
Megjegyzés. A 7-es oszthatóság vizsgálata helyett a feladat természetesen úgy is megoldható, hogy az egyenletrendszert mindkét esetben megoldjuk. A másik esetben a
\(\displaystyle z=\frac{8959}{343},\quad a=\frac{13632}{343},\quad t=\frac{20662}{343}\)
megoldás adódik, ami nem lehetséges, hiszen ezek az értékek nem egészek.
Statisztika:
74 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 55 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai