A C. 1687. feladat (2021. október)

C. 1687. Egy bevásárlószatyorban találtunk három bevásárló listát. Az első listán 23 zsömle, 13 alma és 15 tojás szerepelt, a másodikon 9 zsömle, 3 alma és 28 tojás, a harmadikon pedig 25 zsömle, 18 alma és 11 tojás. Az első listán lévő árukért 2021 forintot fizettünk, a másik két bevásárlásért pedig 2031, illetve 2041 forintot, de nem tudjuk, melyik összeg melyik vásárláshoz tartozik. Minden termék darabára pozitív egész szám. Mi mennyibe került?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Jelölje a zsömle, az alma és a tojás árát rendre $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, illetve $\displaystyle c$. A következő három egyenlet írható fel:

A 3) egyenletből az 1)-et kivonva:

$\displaystyle 2a+5b-4c=20\textrm{ vagy }10,$

Az 1) egyenletből kivonva a 2) egyenletet, majd behelyettesítve az előbb $\displaystyle 5b$-re kapott kifejezést:

$\displaystyle 14a+10b-13c=-10\textrm{ vagy }-20,$

$\displaystyle 14a+2(4c-2a+(20\textrm{ vagy }10))-13c=-10\textrm{ vagy }-20,$

$\displaystyle 14a+8c-4a+(40\textrm{ vagy }20)-13c=-10\textrm{ vagy }-20,$

$\displaystyle 10a-5c+(50\textrm{ vagy }40)=0,$

$\displaystyle 2a-c+(10\textrm{ vagy }8)=0,$

$\displaystyle c=2a+(10\textrm{ vagy }8).$

Ezt behelyettesítve a 4) egyenletbe:

$\displaystyle 5b=4(2a+(10\textrm{ vagy }8))-2a+(20\textrm{ vagy }10)=$

$\displaystyle =8a+(40\textrm{ vagy }32)-2a+(20\textrm{ vagy }10)=6a+(60\textrm{ vagy }42),$

$\displaystyle b=1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4).$

Végül a $\displaystyle b$-re és $\displaystyle c$-re kapott kifejezéseket az 1) egyenletbe visszaírva:

$\displaystyle 23a+13(1,2a+(12\textrm{ vagy }8,4))+15(2a+(10\textrm{ vagy }8)=2021,$

$\displaystyle 68,6a+(306\textrm{ vagy }229,2)=2021,$

$\displaystyle 68,6a=1715\textrm{ vagy }1791,8.$

Az első esetben $\displaystyle a=\frac{1715}{68,6}=25$, a második esetben nem egész értéket kapunk. Ha $\displaystyle a=25$, akkor $\displaystyle c=2a+10=60$ és $\displaystyle b=1,2a+12=42$.

Tehát a zsömle 25 Ft, az alma 42 Ft, a tojás pedig 60 Ft volt.

2. megoldás. A zsömle, az alma, illetve a tojás árát jelölje rendre $\displaystyle z$, $\displaystyle a$, illetve $\displaystyle t$. A megadott feltételek alapján

$\displaystyle 23z+13a+15t=2021$

és

$\displaystyle 9z+3a+28t=2031\text{ vagy } 2041,$

$\displaystyle 25z+18a+11t=2041\text{ vagy }2031.$

A harmadik egyenlethez a második egyenlet 2-szeresét és az első egyenlet 3-szorosát adva a következő egyenletet kapjuk:

$\displaystyle 112z+63a+112t=12166\text{ vagy }12176.$

Mivel $\displaystyle z,a,t$ egész számok, ezért

$\displaystyle 112z+63a+112t=7(16z+9a+16t)$

biztosan 7-tel osztható, azonban 12166 és 12176 közül csak a $\displaystyle 12166=7\cdot 1738$ osztható 7-tel. Ez az eset annak felel meg, amikor a második listán lévő árucikkekért fizettünk 2031 forintot és a harmadikon lévőkért 2041 forintot. Tehát az egyenletrendszer, amit meg kell oldanunk:

$\displaystyle 23z+13a+15t=2021$

$\displaystyle 9z+3a+28t=2031$

$\displaystyle 25z+18a+11t=2041$

Vonjuk ki a második egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 9-szeresét:

Ehhez hasonlóan, vonjuk ki a harmadik egyenlet 23-szorosából az első egyenlet 25-szörösét:

Most pedig $\displaystyle (*)$ 89-szorosát és $\displaystyle (**)$ 48-szorosát adjuk össze:

$\displaystyle 39445t=2366700,$

amiből a tojás ára

$\displaystyle t=60.$

Ezt (például) $\displaystyle (*)$-ba visszahelyettesítve kapjuk, hogy az alma ára

$\displaystyle a=\frac{122t-3582}{89}=\frac{122\cdot 60-3582}{89}=42.$

Végül, (például) az eredeti első egyenletből a zsömle ára

$\displaystyle z=\frac{2021-13a-15t}{23}=25.$

Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve látható, hogy $\displaystyle z=25,a=42,t=60$ mellett mindhárom egyenlet valóban teljesül.

Tehát a zsömle ára 25 forint, az almáé 42 forint, a tojásé pedig 60 forint.

Megjegyzés. A 7-es oszthatóság vizsgálata helyett a feladat természetesen úgy is megoldható, hogy az egyenletrendszert mindkét esetben megoldjuk. A másik esetben a

$\displaystyle z=\frac{8959}{343},\quad a=\frac{13632}{343},\quad t=\frac{20662}{343}$

megoldás adódik, ami nem lehetséges, hiszen ezek az értékek nem egészek.

Statisztika:

74 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	55 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai