Problem C. 1698. (December 2021)
C. 1698. Zoe does not like books but she decides to read a total of 2021 pages during the year 2021. She is going to read on consecutive days, one page more on every day than on the previous day. How many pages should she read on the first day if she would like to spread the project through the largest possible number of days, but she does not have time to read more than 100 pages on any day?
Proposed by L. Sáfár, Ráckeve
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen az első napon elolvasott oldalak száma \(\displaystyle n\) (\(\displaystyle n \leq 100\) pozitív egész szám). Tegyük fel, hogy Zoli összesen \(\displaystyle k\) napon keresztül olvas (\(\displaystyle k \leq 365\) pozitív egész szám). Keressük \(\displaystyle k\) maximális értékét a megadott feltételek mellett. Az elolvasott oldalak számára felírhatjuk a következő egyenletet:
\(\displaystyle 2021=n+(n+1)+(n+2)+ \ldots + (n+k-1).\)
Az egynemű tagokat összevonjuk, majd alkalmazzuk az első \(\displaystyle k-1\) darab pozitív egész szám összegzésére vonatkozó képletet:
\(\displaystyle 2021= n \cdot k+ 1 + 2 + 3 + \ldots k-1 = n\cdot k+ \frac{k \cdot (k-1)}{2}.\)
Az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk \(\displaystyle 2\)–vel és felbontjuk a zárójelet, majd szorzattá alakítjuk a jobb oldalon kapott kifejezést:
\(\displaystyle 4042= 2 \cdot n \cdot k + k^2 -k= k \cdot (2n + k -1).\)
A \(\displaystyle k\) tehát osztója a \(\displaystyle 4042\)–nek, így a \(\displaystyle 4042= 2 \cdot 43 \cdot 47\) prímtényezős felbontás alapján megállapítjuk a \(\displaystyle k\) lehetséges értékeit, majd az ezekhez tartozó megfelelő \(\displaystyle n\) értékeket. A könnyebb áttekinthetőség kedvéért ezeket az alábbi összefoglaló táblázatban soroltuk fel.
| \(\displaystyle k\) értéke (napok száma) | \(\displaystyle 2n+k-1\) értéke | \(\displaystyle n\) értéke (az első napi adag) |
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 4042\) | \(\displaystyle 2021>100\), nem megoldás |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 2021\) | \(\displaystyle 1010>100\), nem megoldás |
| \(\displaystyle 43\) | \(\displaystyle 94\) | \(\displaystyle 26\), lehetséges |
| \(\displaystyle 47\) | \(\displaystyle 86\) | \(\displaystyle 20\), lehetséges |
| \(\displaystyle 86\) | \(\displaystyle 47\) | \(\displaystyle n=-19<0\), nem megoldás |
| \(\displaystyle 94\) | \(\displaystyle 43\) | \(\displaystyle n=-25<0\), nem megoldás |
| \(\displaystyle 2021>365\), nem megoldás | ||
| \(\displaystyle 4042>365\), nem megoldás |
A két lehetséges megoldás közül az felel meg a feladat feltételeinek, amelyben a napok száma, tehát \(\displaystyle k\) értéke nagyobb. Ennek alapján a \(\displaystyle k=47\) és \(\displaystyle n=20\) a megfelelő, tehát Zolinak az első napon \(\displaystyle 20\) oldalt kell elolvasnia és így \(\displaystyle 47\) napig tart a \(\displaystyle 2021\) oldal elolvasása.
Statistics:
65 students sent a solution. 5 points: Balogh Adrián, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Fenyvesi Bence, Hazadi Noémi, Horváth Milán, Kurucz Márton, Radzik Réka, Szabó Réka, Szittyai Anna, Waldhauser Miklós, Xu Yiling. 4 points: Besze Zsolt, Biborka Dániel, Deák Gergely, Fazekas István, Halász Henrik, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Kiss Gábor Botond, Magyar Gábor Balázs, Nemes 468 Kornél, Németh Máté Előd, Pekk Márton, Rumpler Bianka, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Süveges Gergő, Szalanics Tamás, Szegedi Ágoston, Tóth Gréta. 3 points: 12 students. 2 points: 4 students. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 7 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2021