Problem C. 1702. (January 2022)

C. 1702. Vertex \(\displaystyle A\) of a quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) lies on the plane \(\displaystyle S\), its diagonal \(\displaystyle BD\) is parallel to the plane \(\displaystyle S\), and its vertex \(\displaystyle C\) is at a distance of \(\displaystyle 8\) units from the plane \(\displaystyle S\). Given that the orthogonal projection of the quadrilateral onto \(\displaystyle S\) is a square with a diagonal \(\displaystyle 6\) units long, prove that quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is a rhombus, and calculate the length of its sides.

Proposed by N. Zagyva, Baja

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABCD\) négyszög csúcsainak az \(\displaystyle S\) síkra eső merőleges vetületeit rendre \(\displaystyle A', B', C', D'\). A feltétel miatt egyrészt \(\displaystyle A'\equiv{A}\), illetve \(\displaystyle A'B'C'D'\) négyzet, másrészt \(\displaystyle CC'=8\), valamint \(\displaystyle A'C'=B'D'=6\). Az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben \(\displaystyle O\)-val jelöltük azt a pontot, amelynek merőleges vetülete az \(\displaystyle S\) síkon az \(\displaystyle A'B'C'D'\) négyzet \(\displaystyle O'\) középpontja.

Tekintsük a következő ábrát.

Ha két egyenes merőleges egymásra és az egyik párhuzamos az \(\displaystyle S\) síkkal, akkor az egyenesek vetülete is merőleges egymásra, és ez megfordítva is igaz. Ez a feltétel miatt fennáll, hiszen \(\displaystyle A'C'\perp{B'D'}\), ezért \(\displaystyle AC\perp{BD}\) is teljesül. A merőleges vetítés illeszkedéstartó, így, mivel \(\displaystyle A'C'\cap{B'D'}=O'\), ezért \(\displaystyle AC\cap{BD}=O\) is érvényes.

Ugyanakkor \(\displaystyle O'\) felezi a \(\displaystyle B'D'\) szakaszt, tehát \(\displaystyle O\) felezi a \(\displaystyle BD\) szakaszt.

Az \(\displaystyle AC'C\) háromszögben \(\displaystyle O'O\) középvonal, mert \(\displaystyle O'\) felezi az \(\displaystyle A'C'\) szakaszt is és \(\displaystyle OO'\parallel{CC'}\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle O\) felezi az \(\displaystyle AC\) szakaszt is.

Eszerint az \(\displaystyle ABCD\) négyszögben az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók merőlegesen felezik egymást, ezért az \(\displaystyle ABCD\) négyszög rombusz.

\(\displaystyle BD\) párhuzamos az \(\displaystyle S\) síkkal és \(\displaystyle B'D'=6\), ezért \(\displaystyle BD=6\) is igaz, és akkor az előzőek szerint \(\displaystyle BO=DO=3\).

A \(\displaystyle 6\) és \(\displaystyle 8\) befogójú \(\displaystyle AC'C\) derékszögű háromszögből pedig a Pitagorasz-tétel felhasználásával azt kapjuk, hogy \(\displaystyle AC=10\), és ezért \(\displaystyle AO=CO=5\).

Az \(\displaystyle O\) pontban derékszögű \(\displaystyle AOB\) háromszögből a Pitagorasz-tétel alapján adódik, hogy \(\displaystyle AB=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}\). Az \(\displaystyle ABCD\) rombusz oldalainak hossza tehát \(\displaystyle AB=BC=CD=DA=\sqrt{34}\).

Statistics:

36 students sent a solution.
5 points:	Besze Zsolt, Egyházi Hanna, Hajós Balázs, Horváth Milán, Hosszu Noel, Hugli Benedek, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Mészáros Anna Veronika, Murai Dóra Eszter, Nagy Daniella, Pekk Márton, Radzik Réka, Sipeki Márton, Süveges Gergő, Szabó Enikő Lilla, Szabó Réka, Szabó Zóra, Tóth Gréta, Werner Kinga, Xu Yiling.
4 points:	Deák Gergely.
3 points:	8 students.
2 points:	2 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2022