 |
A C. 1704. feladat (2022. február) |
C. 1704. Mely \(\displaystyle a\) valós számok esetén lesz a \(\displaystyle [0;2]\) intervallumon értelmezett
\(\displaystyle f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 \)
függvény minimumhelyén a függvény értéke 3?
(MC&IC)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Teljes négyzetté alakítás után
\(\displaystyle f(x)=(2x-a)^2-2a+2.\)
Láthatjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)\) függvény a valós számok halmazán az \(\displaystyle x=\frac{a}{2}\) helyen veszi fel a legkisebb értéket, ezért \(\displaystyle \frac{a}{2}\) értéke alapján három esetet kell megvizsgálnunk.
1. eset. Ha \(\displaystyle \frac{a}{2}\in [0;2]\), azaz \(\displaystyle a\in [0;4]\), akkor
\(\displaystyle f\Big(\frac{a}{2}\Big)=4\cdot \Big( \frac{a}{2}\Big)^2-4a \cdot \frac{a}{2}+a^2-2a+2=3,\)
ebből \(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\), ami nem felel meg a fenti feltételnek.
2. eset. Ha \(\displaystyle \frac{a}{2} <0\), azaz \(\displaystyle a<0\), akkor az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton növekvő a \(\displaystyle [0;2]\) intervallumon, tehát a minimuma \(\displaystyle x=0\)-nál van. Az \(\displaystyle f(0)=a^2-2a+2=3\), azaz az \(\displaystyle a^2-2a-1=0\) másodfokú egyenlet gyökei \(\displaystyle a_{1,2}=1 \pm \sqrt{2}\). Mivel \(\displaystyle a<0\), ezért ebben az esetben az \(\displaystyle a=1-\sqrt{2}\) megoldást kapjuk.
3. eset. Ha \(\displaystyle \frac{a}{2} >2\), azaz \(\displaystyle a>4\), akkor az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton csökkenő a \(\displaystyle [0;2]\) intervallumon, tehát a minimuma \(\displaystyle x=2\)-nél van. Ekkor az \(\displaystyle f(2)=4 \cdot 2^2 -8a+ a^2-2a+2=3\), vagyis az \(\displaystyle a^2-10a+15=0\) másodfokú egyenlet gyökei \(\displaystyle a_{1,2}=5 \pm \sqrt{10}\). Mivel \(\displaystyle a>4\), ezért ebben az esetben az \(\displaystyle a=5+\sqrt{10}\) megoldást kapjuk.
A feladatnak két megoldása van, \(\displaystyle a_1=1-\sqrt{2}\) és \(\displaystyle a_2=5+\sqrt{10}\).
Statisztika:
116 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 52 versenyző. 4 pontot kapott: 17 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2022. februári matematika feladatai