A C. 1704. feladat (2022. február)

C. 1704. Mely $\displaystyle a$ valós számok esetén lesz a $\displaystyle [0;2]$ intervallumon értelmezett

$\displaystyle f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2$

függvény minimumhelyén a függvény értéke 3?

(MC&IC)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Teljes négyzetté alakítás után

$\displaystyle f(x)=(2x-a)^2-2a+2.$

Láthatjuk, hogy az $\displaystyle f(x)$ függvény a valós számok halmazán az $\displaystyle x=\frac{a}{2}$ helyen veszi fel a legkisebb értéket, ezért $\displaystyle \frac{a}{2}$ értéke alapján három esetet kell megvizsgálnunk.

1. eset. Ha $\displaystyle \frac{a}{2}\in [0;2]$, azaz $\displaystyle a\in [0;4]$, akkor

$\displaystyle f\Big(\frac{a}{2}\Big)=4\cdot \Big( \frac{a}{2}\Big)^2-4a \cdot \frac{a}{2}+a^2-2a+2=3,$

ebből $\displaystyle a=-\frac{1}{2}$, ami nem felel meg a fenti feltételnek.

2. eset. Ha $\displaystyle \frac{a}{2} <0$, azaz $\displaystyle a<0$, akkor az $\displaystyle f(x)$ függvény szigorúan monoton növekvő a $\displaystyle [0;2]$ intervallumon, tehát a minimuma $\displaystyle x=0$-nál van. Az $\displaystyle f(0)=a^2-2a+2=3$, azaz az $\displaystyle a^2-2a-1=0$ másodfokú egyenlet gyökei $\displaystyle a_{1,2}=1 \pm \sqrt{2}$. Mivel $\displaystyle a<0$, ezért ebben az esetben az $\displaystyle a=1-\sqrt{2}$ megoldást kapjuk.

3. eset. Ha $\displaystyle \frac{a}{2} >2$, azaz $\displaystyle a>4$, akkor az $\displaystyle f(x)$ függvény szigorúan monoton csökkenő a $\displaystyle [0;2]$ intervallumon, tehát a minimuma $\displaystyle x=2$-nél van. Ekkor az $\displaystyle f(2)=4 \cdot 2^2 -8a+ a^2-2a+2=3$, vagyis az $\displaystyle a^2-10a+15=0$ másodfokú egyenlet gyökei $\displaystyle a_{1,2}=5 \pm \sqrt{10}$. Mivel $\displaystyle a>4$, ezért ebben az esetben az $\displaystyle a=5+\sqrt{10}$ megoldást kapjuk.
A feladatnak két megoldása van, $\displaystyle a_1=1-\sqrt{2}$ és $\displaystyle a_2=5+\sqrt{10}$.

Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	17 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai