Problem C. 1707. (February 2022)

C. 1707. In a triangle \(\displaystyle ABC\) (with the usual notations) \(\displaystyle b=6\), \(\displaystyle a=2\) and they enclose an angle of \(\displaystyle \gamma=120^{\circ}\). Find the exact length of the interior angle bisector of angle \(\displaystyle \gamma\).

(MC&IC)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Jelöljük a \(\displaystyle CD\) belső szögfelező hosszát röviden \(\displaystyle f\)-fel. Húzzunk párhuzamost a \(\displaystyle B\) ponton keresztül a \(\displaystyle CD\) szögfelezővel, a párhuzamos az \(\displaystyle AC\) oldal egyenesét az \(\displaystyle E\) pontban metszi.

Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle BCE\sphericalangle=60^{\circ}\), illetve \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EB\) párhuzamossága miatt \(\displaystyle ACD\sphericalangle\) és \(\displaystyle AEB\sphericalangle\) egyállású szögek, ezért egyenlők, továbbá \(\displaystyle DCB\sphericalangle\) és \(\displaystyle CBE\sphericalangle\) váltószögek, tehát szintén egyenlők. Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle BEC\) háromszög minden szöge \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os, ezért ez a háromszög szabályos és így \(\displaystyle CE=EB=2\).

Alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EB\) párhuzamosokkal metszett \(\displaystyle BAE\sphericalangle\)-re: \(\displaystyle \frac{f}{EB}=\frac{AC}{AE}\). A szakaszok hosszának behelyettesítése után:

\(\displaystyle \frac{f}{2}=\frac{6}{8},\)

innen egyszerű számolással kapjuk, hogy \(\displaystyle f=\frac{3}{2}\), tehát a \(\displaystyle CD\) szögfelező hosszának pontos értéke \(\displaystyle \frac{3}{2}\) hosszúságegység.

2. megoldás. Az 1. megoldás ábrájának jelöléseit használjuk. Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB=c\) oldalára:

\(\displaystyle c^2=2^2+6^2-2\cdot2\cdot6\cdot\cos{120^{\circ}}.\)

Ebből a \(\displaystyle \cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\) ismeretében egyszerű számolással adódik, hogy \(\displaystyle c^2=52\), azaz \(\displaystyle c=\sqrt{52}\).

A belső szögfelező tételéből következik, hogy

\(\displaystyle \frac{BD}{AD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\)

ezért

Felhasználjuk azt az ismert tételt (Geometriai feladatgyűjtemény I., 1256. feladat), amely szerint a belső szögfelező négyzetére \(\displaystyle f^2=AC\cdot{BC}-AD\cdot{BD}\) teljesül.

Ebből (1) szerint \(\displaystyle f^2=6\cdot{2}-{\frac{3\sqrt{52}}{4}}\cdot\frac{\sqrt{52}}{4}\), ahonnan a műveletek elvégzésével és egyszerűsítéssel azt kapjuk, hogy \(\displaystyle f^2=\frac{9}{4}\), és így \(\displaystyle f=\frac{3}{2}\).

A \(\displaystyle CD\) belső szögfelező pontos hossza ezért \(\displaystyle \frac{3}{2}\) hosszúságegység.

3. megoldás. Ezúttal is az 1. megoldás ábrájának jelöléseit alkalmazzuk. Felhasználjuk továbbá a \(\displaystyle BD\) szakasznak a 2. megoldásban már kiszámított értékét.

Felírhatjuk a koszinusztételt a \(\displaystyle BDC\) háromszög \(\displaystyle BD\) oldalára:

\(\displaystyle BD^2=2^2+f^2-2\cdot{2}\cdot{f}\cdot{\cos60^{\circ}}.\)

A \(\displaystyle \cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\) és \(\displaystyle BD=\frac{\sqrt{52}}{4}\) behelyettesítésével számolás után az

\(\displaystyle f^2-2f+\frac{3}{4}=0\)

másodfokú egyenletet kapjuk.

A másodfokú egyenlet gyökei teljes négyzetté alakítás, vagy a megoldóképlet alkalmazása után:

\(\displaystyle f_1=\frac{3}{2};\quad{f_2=\frac{1}{2}}.\)

Az \(\displaystyle f_2\) nem megoldása a feladatnak, mert az \(\displaystyle ACD\) háromszögben az \(\displaystyle f=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle AD=\frac{3\sqrt{52}}{4}\) és \(\displaystyle AC=6\) hosszúságokra nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, hiszen számológéppel is ellenőrizhetjük, hogy \(\displaystyle f+AD<AC\).

A feladat megoldása tehát \(\displaystyle CD=f=\frac{3}{2}\), ez számolással egyszerűen ellenőrizhető, hogy mind a \(\displaystyle BCD\), mind az \(\displaystyle ACD\) háromszögben teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget.

Megjegyzés. A háromszög két oldalának hossza és a két oldal által bezárt szög a feltételek szerint adott. Ez a háromszög tehát megszerkeszthető és az \(\displaystyle AB\) oldal hossza is egyértelműen meghatározható. De ez azt is jelenti, hogy a \(\displaystyle b=6\), \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle \gamma=120^{\circ}\) adatokkal szerkesztett háromszög \(\displaystyle C\) pontból induló belső szögfelezőjének hossza is egyértelműen meghatározott, azaz a \(\displaystyle CD=f, DB\) és \(\displaystyle BC\) szakaszok biztosan teljesítik a háromszög-egyenlőtlenséget.

Statistics:

49 students sent a solution.
5 points:	Besze Zsolt, Cynolter Dorottya, Egyházi Hanna, Fekete Patrik, Horváth Milán, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Nagy Daniella, Nemes 468 Kornél, Pekk Márton, Pozbai Hanga , Radzik Réka, Rumpler Bianka, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Tóth Gréta, Waldhauser Miklós, Xu Yiling.
4 points:	Aggod Ádám, Deák Gergely, Halász Henrik, Jakusch Tamás, Josepovits Gábor, Petneházi Péter, Schneider Dávid, Werner Kinga.
3 points:	8 students.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022