Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1709. (March 2022)

C. 1709. The integers \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) are factors of 720, but \(\displaystyle ab\) is not a factor of 720. How many such ordered pairs \(\displaystyle (a;b)\) are there?

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle 720\) prímtényezős felbontása \(\displaystyle 720=2^4 \cdot 3^2 \cdot 5\), ezért \(\displaystyle 5 \cdot 3 \cdot 2=30\) pozitív osztója van. Ekkor összesen \(\displaystyle 30 \cdot 30=900\) olyan rendezett számpár van, amelyekben a \(\displaystyle 720\) pozitív osztói szerepelnek. Összeszámoljuk azokat, amelyekre nem teljesül a feladat feltétele, azaz az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle ab\) mindegyike osztója a \(\displaystyle 720\)-nak.

Hányféleképpen szerepelhetnek a \(\displaystyle 2\)-es tényezők az \(\displaystyle (a;b)\) számpárokban?

– Ha az \(\displaystyle a\) számban nem szerepel a \(\displaystyle 2\)-es, akkor a \(\displaystyle b\) számban \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle 4\) darab \(\displaystyle 2\)-es tényező szerepelhet, ez \(\displaystyle 5\) esetet jelent.

– Ha az \(\displaystyle a\) számban egy \(\displaystyle 2\)-es van, akkor a \(\displaystyle b\) számban \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), vagy \(\displaystyle 3\) darab szerepelhet, ez \(\displaystyle 4\) eset.

– Ha az \(\displaystyle a\) számban két darab \(\displaystyle 2\)-es van, akkor a \(\displaystyle b\) számban \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), vagy \(\displaystyle 2\) szerepelhet, ez \(\displaystyle 3\) eset.

– Ha az \(\displaystyle a\) számban három \(\displaystyle 2\)-es van, akkor a \(\displaystyle b\) számban vagy nincsen, vagy \(\displaystyle 1\) lehet, ez \(\displaystyle 2\) eset.

– Végül pedig ha az \(\displaystyle a\)-ban \(\displaystyle 4\)-szer szerepel a \(\displaystyle 2\)-es tényező, akkor a \(\displaystyle b\)-ben nem szerepelhet, ez \(\displaystyle 1\) eset. Összesen \(\displaystyle 5+4+3+2+1=15\) esetet számoltunk össze.

A fentiekhez hasonlóan számolhatjuk össze a lehetőségek számát a \(\displaystyle 3\) és az \(\displaystyle 5\) prímtényező esetében: A \(\displaystyle 3\)-as tényező \(\displaystyle 3+2+1=6\)-féleképpen szerepelhet, míg az \(\displaystyle 5\)-ös tényező \(\displaystyle 2+1=3\)-féleképpen.

Összesen tehát \(\displaystyle 15 \cdot 6 \cdot 3=270\) olyan rendezett \(\displaystyle (a;b)\) számpár van, amelyben mindkét szám pozitív és az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle ab\) mindegyike osztója a \(\displaystyle 720\)-nak, ezért \(\displaystyle 900-270=630\) olyan van, amelyekre \(\displaystyle ab\) nem osztója a \(\displaystyle 720\)-nak.

Most megvizsgáljuk az előjeleket, hiszen a feladatban egész számokról van szó. A rendezett \(\displaystyle (a;b)\) számpárban szereplő számok bármelyike lehet pozitív vagy negatív, ez \(\displaystyle 2 \cdot 2=4\) eset az előjeleket illetően, így összesen \(\displaystyle 4 \cdot 630= 2520\) olyan számpár van, amelyre teljesülnek a feladat feltételei.


Statistics:

118 students sent a solution.
5 points:Ali Richárd, Böröczky András Bálint, Fodor Dóra, Horváth Milán, Inokai Ádám, Szabó Zóra, Waldhauser Miklós.
4 points:Ambrus Anna Zsófia, Bakurek Máté, Balog Benedek, Baráth Borbála, Berényi-Sima Lajos, Bilicki Vilmos, Bukor Emőke Zsuzsanna, Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fehérvári Donát, Fekete Patrik, Fórizs Emma, Hajós Balázs, Han Ziying, Hetyei Dániel, Horváth 204 Lóránt , Horváth 221 Zsóka, Hosszu Noel, Iván Máté Domonkos, Jakusch Tamás, Juhász Emma, Kerekes András, Körmöndi Márk, Kurucz Márton, Laskai Botond, Nagy 292 Korina, Nagy Daniella, Pekk Márton, Petrányi Lilla, Radzik Réka, Sándor Eszter, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Somogyi Dóra, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Szpisják Zsófia Andrea, Tomesz László Gergő, Vigh 279 Zalán, Werner Kinga.
3 points:45 students.
2 points:8 students.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022