Problem C. 1711. (March 2022)
C. 1711. Solve the equation
\(\displaystyle \sqrt{x-1801}+\sqrt{y-1860}=2-\frac{1}{\sqrt{x-1801}}, \)
where \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) denote real numbers.
(5 pont)
Deadline expired on April 11, 2022.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle y-1860 \geq 0\), amelyből \(\displaystyle y \geq 1860\). A \(\displaystyle \sqrt{x-1801}\) tört nevezőjében szerepel, így nem lehet egyenlő nullával, másrészt nemnegatív, ezért \(\displaystyle \sqrt{x-1801}>0\), amelyből \(\displaystyle x>1801\) következik.
Rendezve:
\(\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=2-\sqrt{y-1860}}.\)
Megvizsgáljuk a kapott egyenlet két oldalának értékkészletét. A bal oldalon egy pozitív számnak és reciprokának összege áll, amely tudvalevőleg legalább \(\displaystyle 2\). A jobb oldalon lévő kifejezés értéke pedig legfeljebb \(\displaystyle 2\), hiszen egy nemnegatív kifejezést vonunk ki \(\displaystyle 2\)-ből. Az előzőekből az következik, hogy az egyenlet két oldala csak akkor lehet egyenlő egymással, ha mindkét oldal értéke \(\displaystyle 2\), ezért a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:
\(\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}}=2,\)
\(\displaystyle 2-\sqrt{y-1860}=2.\)
Az első pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt{x-1801}=\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=1\), vagyis
\(\displaystyle x=1802;\)
a második pedig akkor, ha
\(\displaystyle y=1860.\)
A megoldás tehát: \(\displaystyle x=1802\) és \(\displaystyle y=1860\).
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022