 |
A C. 1711. feladat (2022. március) |
C. 1711. Oldjuk meg az
\(\displaystyle \sqrt{x-1801}+\sqrt{y-1860}=2-\frac{1}{\sqrt{x-1801}} \)
egyenletet, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valós számok.
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle y-1860 \geq 0\), amelyből \(\displaystyle y \geq 1860\). A \(\displaystyle \sqrt{x-1801}\) tört nevezőjében szerepel, így nem lehet egyenlő nullával, másrészt nemnegatív, ezért \(\displaystyle \sqrt{x-1801}>0\), amelyből \(\displaystyle x>1801\) következik.
Rendezve:
\(\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=2-\sqrt{y-1860}}.\)
Megvizsgáljuk a kapott egyenlet két oldalának értékkészletét. A bal oldalon egy pozitív számnak és reciprokának összege áll, amely tudvalevőleg legalább \(\displaystyle 2\). A jobb oldalon lévő kifejezés értéke pedig legfeljebb \(\displaystyle 2\), hiszen egy nemnegatív kifejezést vonunk ki \(\displaystyle 2\)-ből. Az előzőekből az következik, hogy az egyenlet két oldala csak akkor lehet egyenlő egymással, ha mindkét oldal értéke \(\displaystyle 2\), ezért a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:
\(\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}}=2,\)
\(\displaystyle 2-\sqrt{y-1860}=2.\)
Az első pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \sqrt{x-1801}=\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=1\), vagyis
\(\displaystyle x=1802;\)
a második pedig akkor, ha
\(\displaystyle y=1860.\)
A megoldás tehát: \(\displaystyle x=1802\) és \(\displaystyle y=1860\).
Statisztika:
A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai