A C. 1711. feladat (2022. március)

C. 1711. Oldjuk meg az

$\displaystyle \sqrt{x-1801}+\sqrt{y-1860}=2-\frac{1}{\sqrt{x-1801}}$

egyenletet, ha $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ valós számok.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt $\displaystyle y-1860 \geq 0$, amelyből $\displaystyle y \geq 1860$. A $\displaystyle \sqrt{x-1801}$ tört nevezőjében szerepel, így nem lehet egyenlő nullával, másrészt nemnegatív, ezért $\displaystyle \sqrt{x-1801}>0$, amelyből $\displaystyle x>1801$ következik.

Rendezve:

$\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=2-\sqrt{y-1860}}.$

Megvizsgáljuk a kapott egyenlet két oldalának értékkészletét. A bal oldalon egy pozitív számnak és reciprokának összege áll, amely tudvalevőleg legalább $\displaystyle 2$. A jobb oldalon lévő kifejezés értéke pedig legfeljebb $\displaystyle 2$, hiszen egy nemnegatív kifejezést vonunk ki $\displaystyle 2$-ből. Az előzőekből az következik, hogy az egyenlet két oldala csak akkor lehet egyenlő egymással, ha mindkét oldal értéke $\displaystyle 2$, ezért a következő egyenletrendszert kell megoldanunk:

$\displaystyle {\sqrt{x-1801}+\frac{1}{\sqrt{x-1801}}}=2,$

$\displaystyle 2-\sqrt{y-1860}=2.$

Az első pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle \sqrt{x-1801}=\frac{1}{\sqrt{x-1801}}=1$, vagyis

$\displaystyle x=1802;$

a második pedig akkor, ha

$\displaystyle y=1860.$

A megoldás tehát: $\displaystyle x=1802$ és $\displaystyle y=1860$.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ambrus Anna Zsófia, Bacsek Emma Borbála, Baksa Anna, Bakurek Máté, Balogh Adrián, Bencsik Bendegúz, Bényei Zsigmond, Besze Zsolt, Bettesch Helga Adél, Böröczky András Bálint, Cynolter Dorottya, Fekete Patrik, Fenyvesi Bence, Fodor Dóra, Fodor Gergely, Görcsös Ákos Attila, Halász Henrik, Hazadi Noémi, Holczer Kenéz, Horváth 221 Zsóka, Horváth Milán, Hugli Benedek, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jármai Roland, Josepovits Gábor, Kerekes András, Keszthelyi Eszter, Kosztolányi Karina, Kriston Nándor, Kurucz Márton, Móricz Margaréta Katalin, Németh Bernát, Petneházi Péter, Petrányi Lilla, Princz-Jakovics Anna, Radzik Réka, Richlik Márton, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somogyi Dóra, Sütő Áron, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Szeibert Dominik, Szittyai Anna, Szpisják Zsófia Andrea, Tomesz László Gergő, Tóth Gréta, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	34 versenyző.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. márciusi matematika feladatai