Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1713. (March 2022)

C. 1713. Let \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle a\) denote real numbers such that \(\displaystyle x+\frac{1}{x}=a\). Determine the value of \(\displaystyle x^{13}+\frac{1}{x^{13}}\) as a function of \(\displaystyle a\).

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Ismert, hogy ha \(\displaystyle x>0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \geq2}\), ha pedig \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \leq -2}\), tehát \(\displaystyle x\) nemnulla valós szám, \(\displaystyle a \leq -2\) vagy \(\displaystyle a \geq 2\), azaz \(\displaystyle a^2 \geq 4\).
Az \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=a}\) egyenletet ekvivalens lépéseken keresztül az

\(\displaystyle x^2-ax+1=0\)

alakra hozhatjuk, amelyből a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva

\(\displaystyle \{x; \frac{1}{x}\} =\{ \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}; \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} \}.\)

A kapott gyököket behelyettesítjük a keresett kifejezésben \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{x}}\) helyére:

\(\displaystyle x^{13}+ \frac{1}{x^{13}}=x^{13}+ {\Big( \frac{1}{x}\Big)^{13}}=\)

\(\displaystyle =\Bigm( \frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \Bigm)^{13} +\Bigm( \frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2} \Bigm)^{13}=\)

\(\displaystyle =2 \cdot \frac{a^{13}+ \binom{13}{2}a^{11} \cdot (a^2-4)+ \binom{13}{4}a^{9} \cdot (a^2-4)^2+ \binom{13}{6}a^{7} \cdot (a^2-4)^3}{2^{13}}+\)

\(\displaystyle +2 \cdot \frac{\binom{13}{8}a^{5} \cdot (a^2-4)^4+ \binom{13}{10}a^{3} \cdot (a^2-4)^5+ \binom{13}{12}a^{1} \cdot (a^2-4)^6}{2^{13}}=\)

\(\displaystyle =\frac{a^{13}+ 78 \cdot a^{11} \cdot (a^2-4)+ 715 \cdot a^{9} \cdot (a^2-4)^2+ 1716 \cdot a^{7} \cdot (a^2-4)^3}{2^{12}} +\)

\(\displaystyle +\frac{ 1287 \cdot a^{5} \cdot (a^2-4)^4+ 286 \cdot a^{3} \cdot (a^2-4)^5+ 13a \cdot (a^2-4)^6}{2^{12}}=\)

\(\displaystyle =\frac{4096a^{13}-53248a^{11} + 266240a^9-638976a^7+745472a^5-372736a^3+53248a}{4096}=\)

\(\displaystyle =a^{13}-13a^{11} + 65a^9-156a^7+182a^5-91a^3+13a.\)

2. megoldás. Ismert, hogy ha \(\displaystyle x>0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \geq2}\), ha pedig \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x} \leq -2}\), tehát \(\displaystyle x\) nemnulla valós szám, \(\displaystyle a \leq -2\) vagy \(\displaystyle a \geq 2\), azaz \(\displaystyle a^2 \geq 4\).
A páros hatványokat négyzetre emeléssel kaphatjuk meg (megtehetjük, hiszen a két oldalon azonos előjelű kifejezések állnak):

\(\displaystyle \Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big)^2=x^{2n}+2+ \frac{1}{x^{2n}},\)

amelyből

\(\displaystyle x^{2n}+ \frac{1}{x^{2n}}=\Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big)^2-2.\)

Ezt kétszer alkalmazzuk:

\(\displaystyle x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}=\Big(x+ \frac{1}{x}\Big)^2-2=a^2-2,\)

\(\displaystyle x^{4}+ \frac{1}{x^{4}}=\Big(x^2+ \frac{1}{x^2}\Big)^2-2=(a^2-2)^2-2=a^4-4a^2+2.\)

Vegyük észre, hogy

\(\displaystyle \Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big) \cdot \Big(x^{n+1}+ \frac{1}{x^{n+1}}\Big)=x^{2n+1} + x + \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^{2n+1}},\)

ahová \(\displaystyle \displaystyle{x+\frac{1}{x}=a}\)-t helyettesítve, majd átrendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^{2n+1} + \frac{1}{x^{2n+1}}=\Big(x^{n}+ \frac{1}{x^n}\Big) \cdot \Big(x^{n+1}+ \frac{1}{x^{n+1}}\Big)-a.\)

A fenti összefüggést alkalmazzuk, majd felhasználjuk az előzőleg kapottakat:

\(\displaystyle x^{3}+ \frac{1}{x^{3}}=\Big(x+ \frac{1}{x}\Big) \cdot \Big(x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}\Big)-a=a(a^2-2)-a=a^3-3a.\)

Ismételjük a lépéseket, amíg a kívánt kifejezést meg nem kapjuk:

\(\displaystyle x^{6}+ \frac{1}{x^{6}}=\Big(x^3+ \frac{1}{x^3}\Big)^2-2=(a^3-3a)^2-2=a^6-6a^4+9a^2-2,\)

\(\displaystyle x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}=\Big(x^{3}+ \frac{1}{x^3}\Big) \cdot \Big(x^{4}+ \frac{1}{x^{4}}\Big)-a=(a^3-3a)(a^4-4a^2+2)-a=\)

\(\displaystyle =a^7-7a^5+14a^3-7a,\)

\(\displaystyle x^{13}+ \frac{1}{x^{13}}=\Big(x^{6}+ \frac{1}{x^6}\Big) \cdot \Big(x^{7}+ \frac{1}{x^{7}}\Big)-a=(a^6-6a^4+9a^2-2)(a^7-7a^5+14a^3-7a)-a=\)

\(\displaystyle =a^{13}-13a^{11} + 65a^9-156a^7+182a^5-91a^3+13a.\)


Statistics:

26 students sent a solution.
5 points:Cynolter Dorottya, Deák Gergely, Fekete Patrik, Fenyvesi Bence, Halász Henrik, Horváth Milán, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Kurucz Márton, Nagy Daniella, Pekk Márton, Radzik Réka, Sipeki Márton, Szabó Réka, Szalanics Tamás, Szittyai Anna, Tóth Gréta.
4 points:Besze Zsolt, Bilicki Vilmos, Szabó Zóra, Werner Kinga.
3 points:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022