Problem C. 1726. (May 2022)

C. 1726. Prove that if \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) are real numbers such that

\(\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1, \quad\text{then}\quad \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0. \)

Find all real numbers satisfying this condition.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Célszerű lenne a feltételben szereplő egyenlet mindkét oldalát beszorozni \(\displaystyle (x+y+z)\)-vel, ez azonban csakis akkor ekvivalens átalakítás, ha \(\displaystyle x+y+z \neq 0\). Ezt indirekt módon könnyen megmutathatjuk.
Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x+y+z=0\), ebből egyrészt \(\displaystyle x+y=-z\), másrészt \(\displaystyle x+z=-y\), harmadrészt pedig \(\displaystyle y+z=-x\) következik. Az előzőek alapján a feladat feltételében lévő egyenlet bal oldalának értéke: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}+\frac{z}{-z}=-1+(-1) +(-1)=-3}\), ami ellentmondás, így beláttuk, hogy \(\displaystyle x+y+z \neq 0\).
Ha az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1}\) egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk \(\displaystyle x+y+z\)-vel, akkor ekvivalens egyenlethez jutunk:

\(\displaystyle \frac{x^2+x(y+z)}{y+z}+\frac{y^2+y(x+z)}{z+x}+\frac{z^2+z(x+y)}{x+y}=x+y+z, \)

amelynek bal oldalát egyszerűsítve azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z.\)

Vonjunk ki mindkét oldalból \(\displaystyle (x+y+z)\)-t, így az

\(\displaystyle \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)

egyenlethez jutunk, ami éppen a feladat állítása.
Most már csak annyi a dolgunk, hogy megfelelő \(\displaystyle x,y,z\) valós számokat találjunk. Legyen például \(\displaystyle z=1\) és mondjuk \(\displaystyle x+y=-\frac{1}{5}\), ekkor \(\displaystyle y=-\frac{1}{5}-x\). A feladatban szereplő feltétel egyenletébe a kiválasztott értékeket behelyettesítve az

\(\displaystyle \frac{x}{\frac{4}{5}-x}+\frac{-\frac{1}{5}-x}{1+x}+\frac{1}{-\frac{1}{5}}=1\)

egyenletet kapjuk, amelyből ekvivalens átalakítások után: \(\displaystyle 50x^2+10x-31=0\). E másodfokú egyenlet két valós megoldása: \(\displaystyle \displaystyle{x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{63}}{10}}\). Nekünk elég az egyik, \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{-1+{\sqrt{63}}}{10}}\) esetén \(\displaystyle \displaystyle{ y=-\frac{1}{5}-x=\frac{-1-{\sqrt{63}}}{10}}\), a \(\displaystyle z=1\)-et pedig már az elején kiválasztottuk.

A feladat állítását beláttuk és megmutattuk, hogy például a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{-1+{\sqrt{63}}}{10}}\), a \(\displaystyle \displaystyle{ \frac{-1-{\sqrt{63}}}{10}}\) és az \(\displaystyle 1\) valós számok teljesítik a feltételeket.

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Cynolter Dorottya, Horváth Milán, Sipeki Márton.
4 points:	Keszthelyi Eszter, Nagy Daniella, Szabó Zóra, Szalanics Tamás, Werner Kinga.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2022