Problem C. 1731. (September 2022)

C. 1731. The parallel sides of a trapezium \(\displaystyle ABCD\) are \(\displaystyle AB>CD\). The midline of the trapezium intersects diagonal \(\displaystyle AC\) at \(\displaystyle E\) and diagonal \(\displaystyle BD\) at \(\displaystyle F\). The length of line segment \(\displaystyle CD\) is the

\(\displaystyle a)\) arithmetic

\(\displaystyle b)\) geometric mean of line segments \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle EF\).

In which of the two cases will the ratio \(\displaystyle \dfrac{AB}{CD}\) have a larger value?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a trapéz \(\displaystyle AD\), illetve \(\displaystyle BC\) szárának felezőpontja \(\displaystyle G\), illetve \(\displaystyle H\) és jelöljük az \(\displaystyle EF\) szakasz hosszát \(\displaystyle \displaystyle{s}\)-sel az alábbi ábra szerint.

A \(\displaystyle GH\) középvonal egyrészt párhuzamos az \(\displaystyle AB=a\) és a \(\displaystyle CD=c\) alapokkal, másrészt felezi az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlókat az \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\) pontban. Eszerint \(\displaystyle GE\) az \(\displaystyle ACD\), míg \(\displaystyle HF\) a \(\displaystyle BCD\) háromszög középvonala. A háromszög középvonalának tulajdonsága alapján tehát

Ugyanakkor \(\displaystyle EH\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög középvonala, hasonlóképpen \(\displaystyle GF\) az \(\displaystyle ABD\) háromszög középvonala, ezért \(\displaystyle \displaystyle{EH=GF=\frac{a}{2}}\) és így (1) felhasználásával kapjuk, hogy

Ha a \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának számtani közepe, akkor \(\displaystyle \displaystyle{c=\frac{a+\frac{a-c}{2}}{2}}\), amelyből a műveletek elvégzésével és rendezéssel adódik, hogy

Ha pedig a \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának mértani közepe, akkor \(\displaystyle \displaystyle{c=\sqrt{a\cdot{\frac{a-c}{2}}}}\), ahonnan négyzetreemeléssel és rendezéssel a \(\displaystyle 2c^2=a^2-ac\) egyenletet kapjuk.

Az egyenlet mindkét oldalát oszthatjuk \(\displaystyle c^2\)-tel, ebből a \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{a}{c}}\) jelölést alkalmazva az \(\displaystyle x^2-x-2=0\) másodfokú egyenletet kapjuk. Ennek megoldásai \(\displaystyle x_1=2\) és \(\displaystyle x_2=-1\).

A feltételeknek nyilván csak az első megoldás felelhet meg, ezért a b) esetben

A (3), illetve (4) eredmények alapján tehát az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{AB}{CD}}\) arány értéke akkor lesz a nagyobb, ha a \(\displaystyle CD\) szakasz hossza az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle EF\) szakaszok hosszának mértani közepe.

Megjegyzés. A feladat értelmetlenné válna, ha az \(\displaystyle E\) és az \(\displaystyle F\) pont azonos lenne. Könnyen látható, hogy ekkor a trapéz paralelogramma, \(\displaystyle s=0\) és \(\displaystyle a=c\), így a számtani közép \(\displaystyle \displaystyle{\frac {a}{2}}\), a mértani közép pedig 0, és egyik sem lehet \(\displaystyle c\)-vel egyenlő.

Statistics:

58 students sent a solution.
5 points:	Angyal Fanni Zsófia, Antal László, Bilicki Vilmos, Duzmath Brigitta, Hajós Balázs, Halász Henrik, Hochenburger Zoárd, Hosszu Noel, Magyar Gábor Balázs, Pacsay-Tomassich Vince, Pekk Márton, Perényi Lídia , Petró Péter, Prikler Dorka Abigél, Sarkadi Sándor, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szabó Viktória Ildikó .
4 points:	Dancsák Dénes, Keszthelyi Eszter, Lele-Nagy Krisztián, Ruzsa Bence Márk, Szittyai Anna.
1 point:	1 student.
0 point:	23 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022