A C. 1735. feladat (2022. október)

C. 1735. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a

egyenletrendszert.

(The Mathematical Association of America)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ is nemnegatív, valamint nevezőben szerepelnek, ezért nem egyenlők $\displaystyle 0$-val, azaz mindkettő pozitív valós szám.
Vezessük be az $\displaystyle a=\sqrt{x}$ és a $\displaystyle b=\sqrt{y}$ új ismeretleneket, ahol $\displaystyle a>0$ és $\displaystyle b>0$ valós szám. Ekkor egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:

$\displaystyle a+b=6,$

$\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{5}{16}.$

Az első egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük (ez ekvivalens átalakítás, hiszen pozitívak), a második egyenlet bal oldalán elvégezzük az összeadást, majd mindkét egyenletből kifejezzük ($\displaystyle a^2+b^2$)-et:

$\displaystyle a^2+b^2=36-2ab,$

$\displaystyle a^2+b^2=\frac{5}{16}a^2b^2.$

Az első egyenletből kivonjuk a második egyenletet, majd rendezés és nullára redukálás után látjuk, hogy az így kapott

$\displaystyle 5a^2b^2+32ab-576=0$

egyenlet $\displaystyle ab$-ben másodfokú. A gyökök $\displaystyle (ab)_1=8$ és $\displaystyle (ab)_2=-14,\!4$ közül csak az első jó, hiszen $\displaystyle ab>0$. Most már csupán az

$\displaystyle a+b=6,$

$\displaystyle ab=8$

másodfokú egyenletrendszert kell megoldanunk. Ezt megtehetjük például a behelyettesítő módszer alkalmazásával, az első egyenletből kifejezzük $\displaystyle b$-t: $\displaystyle b=6-a$, a kapott kifejezést pedig behelyettesítjük a második egyenletben lévő $\displaystyle b$ helyére. Rendezés és nullára redukálás után az $\displaystyle a^2-6a+8=0$ egyenlethez jutunk, amelynek mindkét gyöke pozitív: $\displaystyle a_1=2$ és $\displaystyle a_2=4$, amiből $\displaystyle b_1=6-a_1=6-2=4$, illetve $\displaystyle b_2=6-a_2=6-4=2$.
Utolsó lépésként kiszámítjuk az eredeti változók megfelelő értékeit: $\displaystyle x_1=a^2_1=2^2=4$ és $\displaystyle y_1=b^2_1=4^2=16$, illetve $\displaystyle x_2=a^2_2=4^2=16$ és $\displaystyle y_2=b^2_2=2^2=4$. Láttuk, hogy más megoldás nincs, ezért az egyenletrendszer megoldásai a $\displaystyle (4; 16)$ és a $\displaystyle (16; 4)$ valós számpárok.

Statisztika:

222 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	38 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	33 versenyző.
Nem versenyszerű:	19 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai