 |
A C. 1735. feladat (2022. október) |
C. 1735. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a
$$\begin{align*} \sqrt{x}+\sqrt{y} & =6,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} & =\frac{5}{16} \end{align*}$$egyenletrendszert.
(The Mathematical Association of America)
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A négyzetgyök definíciója miatt \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) is nemnegatív, valamint nevezőben szerepelnek, ezért nem egyenlők \(\displaystyle 0\)-val, azaz mindkettő pozitív valós szám.
Vezessük be az \(\displaystyle a=\sqrt{x}\) és a \(\displaystyle b=\sqrt{y}\) új ismeretleneket, ahol \(\displaystyle a>0\) és \(\displaystyle b>0\) valós szám. Ekkor egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:
\(\displaystyle a+b=6,\)
\(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{5}{16}.\)
Az első egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük (ez ekvivalens átalakítás, hiszen pozitívak), a második egyenlet bal oldalán elvégezzük az összeadást, majd mindkét egyenletből kifejezzük (\(\displaystyle a^2+b^2\))-et:
\(\displaystyle a^2+b^2=36-2ab,\)
\(\displaystyle a^2+b^2=\frac{5}{16}a^2b^2.\)
Az első egyenletből kivonjuk a második egyenletet, majd rendezés és nullára redukálás után látjuk, hogy az így kapott
\(\displaystyle 5a^2b^2+32ab-576=0\)
egyenlet \(\displaystyle ab\)-ben másodfokú. A gyökök \(\displaystyle (ab)_1=8\) és \(\displaystyle (ab)_2=-14,\!4\) közül csak az első jó, hiszen \(\displaystyle ab>0\). Most már csupán az
\(\displaystyle a+b=6,\)
\(\displaystyle ab=8\)
másodfokú egyenletrendszert kell megoldanunk. Ezt megtehetjük például a behelyettesítő módszer alkalmazásával, az első egyenletből kifejezzük \(\displaystyle b\)-t: \(\displaystyle b=6-a\), a kapott kifejezést pedig behelyettesítjük a második egyenletben lévő \(\displaystyle b\) helyére. Rendezés és nullára redukálás után az \(\displaystyle a^2-6a+8=0\) egyenlethez jutunk, amelynek mindkét gyöke pozitív: \(\displaystyle a_1=2\) és \(\displaystyle a_2=4\), amiből \(\displaystyle b_1=6-a_1=6-2=4\), illetve \(\displaystyle b_2=6-a_2=6-4=2\).
Utolsó lépésként kiszámítjuk az eredeti változók megfelelő értékeit: \(\displaystyle x_1=a^2_1=2^2=4\) és \(\displaystyle y_1=b^2_1=4^2=16\), illetve \(\displaystyle x_2=a^2_2=4^2=16\) és \(\displaystyle y_2=b^2_2=2^2=4\). Láttuk, hogy más megoldás nincs, ezért az egyenletrendszer megoldásai a \(\displaystyle (4; 16)\) és a \(\displaystyle (16; 4)\) valós számpárok.
Statisztika:
222 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 82 versenyző. 4 pontot kapott: 38 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 25 versenyző. 0 pontot kapott: 33 versenyző. Nem versenyszerű: 19 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. októberi matematika feladatai