A C. 1742. feladat (2022. november)

C. 1742. Tekintsük a következő (a valós számok halmazának lehető legbővebb részhalmazán értelmezett) függvényeket:

\(\displaystyle f_0(x)=\frac{1}{1-x}, \quad\text{valamint}\quad f_n(x)=f_0\big(f_{n-1}(x)\big), \)

minden \(\displaystyle n\) pozitív egészre. Számítsuk ki \(\displaystyle f_{2022}(2022)\) értékét.

(Kanadai feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle f_0(x)\) definíciója miatt \(\displaystyle x \neq1\).
Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{f_1(x)=f_0(f_{1-1}(x))}=f_0(f_0(x))=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x}\), ezért \(\displaystyle x \neq 0\).
Ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{f_2(x)=f_0(f_{2-1}(x))}=f_0(f_1(x))=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}= x\).
Ha \(\displaystyle n=3\), akkor \(\displaystyle f_2(x)=x\) miatt \(\displaystyle \displaystyle{f_3(x)=f_0(f_{2}(x))}=f_0(x)\), innentől kezdve pedig ismétlődnek a függvények, hiszen \(\displaystyle f_4(x)=f_0(f_3(x)=f_0(f_0(x))=f_1(x)\). Láthatjuk, hogy az ismétlődés periódusa \(\displaystyle 3\). Mivel a \(\displaystyle 2022\) osztható \(\displaystyle 3\)-mal, ezért \(\displaystyle f_{2022}(x)=f_0(x)\), így \(\displaystyle \displaystyle{f_{2022}(2022)=f_0(2022)=\frac{1}{1-2022}=-\frac{1}{2021}}\).

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Angyal Fanni Zsófia, Braun Zsófia, Buris Orsolya, Emődi Marcell, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Hajós Balázs, Halász Henrik, Hosszu Noel, Jakusch Tamás, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Laskai Botond, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Varga 241 Ildikó Kata, Varga Dániel 829, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Baksa Anna, Bóta Bálint, Ho Tran Khanh Linh, Kéki Edit, Kun Tamás, Sipeki Márton.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. novemberi matematika feladatai