A C. 1746. feladat (2022. december)

C. 1746. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet $\displaystyle AB$ oldalát az $\displaystyle A$ ponton túl meghosszabbítjuk az $\displaystyle AE=2$ szakasszal, a $\displaystyle B$ ponton túl pedig a $\displaystyle BF=3$ szakasszal. Az $\displaystyle ED$ és $\displaystyle FC$ egyenesek $\displaystyle 45^{\circ}$-os szöget zárnak be. Határozzuk meg a négyzet oldalának lehetséges értékeit.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Legyen az $\displaystyle ABCD$ négyzet oldalának hossza $\displaystyle x$, az $\displaystyle ED$ és $\displaystyle FC$ egyenesek metszéspontja $\displaystyle M$. Ha az egyenesek $\displaystyle 45^{\circ}$-os szöget zárnak be, akkor két eset lehetséges: $\displaystyle EMF\sphericalangle=45^{\circ}$, vagy $\displaystyle EMF\sphericalangle=135^{\circ}$. Húzzunk párhuzamost a $\displaystyle D$ ponton keresztül az $\displaystyle MF$ egyenessel, ez az $\displaystyle AB$ egyenesét az $\displaystyle N$ pontban metszi.

Tekintsük az alábbi vázlatos ábrát, amelyen $\displaystyle EMF\sphericalangle=\delta$ és $\displaystyle MFE\sphericalangle=\varphi$.

Mivel $\displaystyle CD\parallel{AB}$ és $\displaystyle CF\parallel{DN}$, ezért egyrészt $\displaystyle CDNF$ paralelogramma, és így $\displaystyle CF=DN$, másrészt $\displaystyle DNA\sphericalangle$ és $\displaystyle CFB\sphericalangle$ egyállású szögek, tehát egyenlők, azaz $\displaystyle DNA\sphericalangle=\varphi$.

A $\displaystyle DNA$ és $\displaystyle CFB$ háromszögek szögei egyenlő nagyságúak és mivel a két háromszögben $\displaystyle CF=DN$, ezért a két háromszög egybevágó, emiatt $\displaystyle AN=3$.

A $\displaystyle DNA$ és $\displaystyle DEA$ derékszögű háromszögekre felírt Pitagorasz-tételekből következik, hogy

$\displaystyle \displaystyle{DN=\sqrt{x^2+9}; \quad DE=\sqrt{x^2+4}}.$

A $\displaystyle DNA$ háromszögben $\displaystyle DNA\sphericalangle=\varphi$, ezért

Ugyanakkor a $\displaystyle DN$ és $\displaystyle MF$ párhuzamosságából az is következik, hogy $\displaystyle EDN\sphericalangle=\delta$, és ezért $\displaystyle \sin{EDN\sphericalangle}=\sin{\delta}$.

A feltételek miatt $\displaystyle \delta=45^{\circ}$ vagy $\displaystyle \delta=135^{\circ}$, ezért

Felírjuk a szinusztételt a $\displaystyle DNE$ háromszögben:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{DE}{NE}=\frac{\sin{\varphi}}{\sin{\delta}}},$

ebből $\displaystyle DE=\sqrt{x^2+4}$ és $\displaystyle NE=5$, illetve (1), valamint (2) alapján

következik.

A (3) egyenletből négyzetreemelés és a műveletek elvégzése után $\displaystyle \big(x^2+4\big)\cdot\big(x^2+9\big)=50x^2$, innen pedig

adódik.

A (4) egyenletből $\displaystyle x^2$ értékére két megoldást kapunk: $\displaystyle x^2=1$ és $\displaystyle x^2=36$.

Az $\displaystyle x$ csak pozitív szám lehet, ezért az $\displaystyle ABCD$ négyzet oldalhosszának értéke $\displaystyle x=1$ és $\displaystyle x=6$ lehet.

Trigonometriai úton, például a $\displaystyle DNE$ háromszög $\displaystyle \delta$ szögére és a vele szemben levő $\displaystyle NE$ oldalra felírt koszinusztétel segítségével megállapíthatjuk, hogy $\displaystyle x=1$ esetén $\displaystyle \delta=135^{\circ}$ és $\displaystyle x=6$ esetén $\displaystyle \delta=45^{\circ}$.

2. megoldás. Felhasználjuk az 1. megoldás ábrájának jelöléseit és azt az eredményt, hogy a $\displaystyle DNE$ háromszögben $\displaystyle EDN\sphericalangle=\delta$, illetve azt, hogy $\displaystyle AN=3$ és $\displaystyle AE=2$.

Felírjuk a $\displaystyle DNA$ és $\displaystyle DEA$ háromszögekben a $\displaystyle D$ csúcshoz tartozó hegyesszögek tangensét:

$\displaystyle \displaystyle{\tg{NDA\sphericalangle}=\frac{3}{x};\quad \tg{EDA\sphericalangle}=\frac{2}{x}}.$

Mivel $\displaystyle \delta=NDA\sphericalangle+EDA\sphericalangle$, alkalmazhatjuk a $\displaystyle \delta$ szögre a

trigonometrikus addíciós tételt.

Ha $\displaystyle \delta=45^{\circ}$, akkor $\displaystyle \tg45^{\circ}=1$ miatt az (1) egyenletből egyszerű átalaításokkal az $\displaystyle x^2-5x-6=0$ egyenletet kapjuk. Ennek egyetlen pozitív megoldása $\displaystyle x=6$.

Ha pedig $\displaystyle \delta=135^{\circ}$, akkor $\displaystyle \tg135^{\circ}=-1$ miatt az (1) egyenletből az $\displaystyle x^2+5x-6=0$ másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek egyetlen pozitív megoldása $\displaystyle x=1$.

A feladat feltételei mellett tehát az $\displaystyle ABCD$ négyzet oldalainak hossza $\displaystyle \delta=45^{\circ}$ esetén $\displaystyle x=6$, $\displaystyle \delta=135^{\circ}$ esetén pedig $\displaystyle x=1$.

3. megoldás. Felhasználjuk az 1. megoldás ábrájának jelöléseit és azt az eredményt, hogy a $\displaystyle DNE$ háromszögben $\displaystyle EDN\sphericalangle=\delta$, $\displaystyle DNE\sphericalangle=\varphi$, illetve

$\displaystyle \displaystyle{DN=\sqrt{x^2+9}; \quad DE=\sqrt{x^2+4}}.$

Legyen először $\displaystyle \delta=45^{\circ}$ és tekintsük a következő ábrát.

A $\displaystyle DNE$ háromszög $\displaystyle E$ pontjából a $\displaystyle DN$-re bocsátott merőleges talppontját $\displaystyle T$-vel jelöltük. Az $\displaystyle ET=m$ szakasz a háromszög $\displaystyle E$-ből húzott magassága.

A $\displaystyle DET$ háromszög nyilvánvalóan egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért $\displaystyle DT=m$ és $\displaystyle DE=m\cdot{\sqrt{2}}$, azaz

A $\displaystyle DNE$ háromszög kétszeres területét kétféleképpen is felírhatjuk: $\displaystyle DN\cdot m=NE\cdot x$, vagyis

$\displaystyle \sqrt{x^2+9}\cdot m= 5\cdot x,$

innen (1) alapján

Legyen most $\displaystyle \delta=135^{\circ}$ és vizsgáljuk az ennek megfelelően készített ábrát, amelyen most is megrajzoltuk a $\displaystyle DNE$ háromszög $\displaystyle E$ csúcsból húzott magasságát.

A $\displaystyle DET$ derékszögű háromszög ezúttal is egyenlő szárú, hiszen $\displaystyle EDT\sphericalangle=45^{\circ}$, és így $\displaystyle DET\sphericalangle=45^{\circ}$.

Ez azt jelenti, hogy ismét felírható az (1) egyenlet és a $\displaystyle DNE$ háromszög kétszeres területére kapott

$\displaystyle \sqrt{x^2+9}\cdot m= 5\cdot x$

összefüggés, ahonnan egyszerű átalakítással újra a (2) egyenlethez jutunk.

Ez azt jelenti, hogy a $\displaystyle \delta=45^{\circ}$ és a $\displaystyle \delta=135^{\circ}$ esetén is ugyanazt a

$\displaystyle \sqrt{x^2+9}\cdot{\sqrt{x^2+4}}=5\sqrt{2}\cdot x$

egyenletet kapjuk.

Az egyenlet mindkét oldalának négyzetre emelésével és rendezéssel (az 1. megoldásban is látott)

$\displaystyle x^4-37x^2+36=0$

egyenlet adódik, ahonnan $\displaystyle x^2=1$ és $\displaystyle x^2=36$, innen pedig az egyenlet pozitív megoldásai $\displaystyle x=1$ és $\displaystyle x=6$.

Ezek tehát az $\displaystyle ABCD$ négyzet oldalának lehetséges értékei.

A $\displaystyle DNE$ háromszög $\displaystyle \delta$ szögére és a vele szemben levő $\displaystyle NE$ oldalra felírt koszinusztétel segítségével ezúttal is ellenőrizhetjük, hogy az $\displaystyle x=1$ értékhez $\displaystyle \delta=135^{\circ}$, az $\displaystyle x=6$ értékhez pedig $\displaystyle \delta=45^{\circ}$ tartozik.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Hajós Balázs, Hetényi Klára Tímea, Keszthelyi Eszter, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid.
4 pontot kapott:	Emődi Marcell, Fekete Patrik, Hosszu Noel, Mészáros Anna Veronika, Sipeki Márton, Szittyai Anna, Végh Lilian.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai