Problem C. 1747. (December 2022)

C. 1747. Let \(\displaystyle n \ge 3\) be a positive integer, and let \(\displaystyle k\) be the sum of the digits in the number \(\displaystyle 10^n-4!\). What is the sum of the digits in the number \(\displaystyle \frac{10^{n+1}-7}{3}\)?

Proposed by M. Szalai, Szeged

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először kifejezzük \(\displaystyle k\)-t az \(\displaystyle n\) függvényében, ehhez azonos átalakításokat végzünk:

\(\displaystyle 10^n-4!= 10^2 \cdot 10^{n-2}-24=(10^{n-2}-1) \cdot 100+100-24=\underbrace{9 \dots 9}_{(n-2) \, \text{db}}\! 76.\)

Láthatjuk, hogy a számjegyek összege \(\displaystyle k=(n-2) \cdot 9 +7+6=9n-5\), ebből \(\displaystyle n=\frac{k+5}{9}\). Most alkalmasan átalakítjuk a kérdésben szereplő számot is:

\(\displaystyle \frac{10^{n+1}-7}{3}=\frac{1\! \overbrace{0 \dots 0}^{(n+1) \, \text{db}}\!-7}{3}=\frac{ \overbrace{9 \dots 9}^{n \, \text{db}}\!3 }{3}= \underbrace{3 \dots 3}_{n \, \text{db}}\!1. \)

A kapott alakból leolvassuk, hogy a számjegyek összege

\(\displaystyle 3n+1=3 \cdot \frac{k+5}{9}+1=\frac{k+5}{3}+1=\frac{k+8}{3}.\)

Statistics:

43 students sent a solution.
5 points:	Baksa Anna, Czakó Boróka, Emődi Marcell, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Halász Henrik, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Prikler Dorka Abigél, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 points:	Angyal Fanni Zsófia, Bóta Bálint, Braun Zsófia, Dobos Julianna, Hajós Balázs, Molnár-Szirtesi Regő, Papp 421 Dániel, Szabó Viktória Ildikó , Szakács Réka, Szegedi Ágoston.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2022