A C. 1747. feladat (2022. december)

C. 1747. Legyen az \(\displaystyle n \ge 3\) pozitív egész szám, a \(\displaystyle 10^n-4!\) számban a számjegyek összege \(\displaystyle k\). Mennyi ekkor a \(\displaystyle \frac{10^{n+1}-7}{3}\) számban a számjegyek összege?

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először kifejezzük \(\displaystyle k\)-t az \(\displaystyle n\) függvényében, ehhez azonos átalakításokat végzünk:

\(\displaystyle 10^n-4!= 10^2 \cdot 10^{n-2}-24=(10^{n-2}-1) \cdot 100+100-24=\underbrace{9 \dots 9}_{(n-2) \, \text{db}}\! 76.\)

Láthatjuk, hogy a számjegyek összege \(\displaystyle k=(n-2) \cdot 9 +7+6=9n-5\), ebből \(\displaystyle n=\frac{k+5}{9}\). Most alkalmasan átalakítjuk a kérdésben szereplő számot is:

\(\displaystyle \frac{10^{n+1}-7}{3}=\frac{1\! \overbrace{0 \dots 0}^{(n+1) \, \text{db}}\!-7}{3}=\frac{ \overbrace{9 \dots 9}^{n \, \text{db}}\!3 }{3}= \underbrace{3 \dots 3}_{n \, \text{db}}\!1. \)

A kapott alakból leolvassuk, hogy a számjegyek összege

\(\displaystyle 3n+1=3 \cdot \frac{k+5}{9}+1=\frac{k+5}{3}+1=\frac{k+8}{3}.\)

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Czakó Boróka, Emődi Marcell, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Halász Henrik, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Prikler Dorka Abigél, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Végh Lilian, Waldhauser Miklós.
4 pontot kapott:	Angyal Fanni Zsófia, Bóta Bálint, Braun Zsófia, Dobos Julianna, Hajós Balázs, Molnár-Szirtesi Regő, Papp 421 Dániel, Szabó Viktória Ildikó , Szakács Réka, Szegedi Ágoston.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai