Problem C. 1756. (February 2023)

C. 1756. Solve the equation

\(\displaystyle 4\cdot \cos\big(\pi\cdot \sin {(\pi \cdot x)}\big)=-5x^2+15x-\frac{61}{4} \)

over the set of real numbers.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletet a jobb, illetve bal oldalon álló kifejezések értékkészletének vizsgálatával oldjuk meg. A jobb oldalon szereplő másodfokú kifejezést teljes négyzetté alakítjuk:

\(\displaystyle -5x^2+15x-\frac{61}{4}=-5 \Big(x-\frac32 \Big) ^2-4,\)

erről megállapíthatjuk, hogy minden \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) esetén az értéke kisebb vagy egyenlő \(\displaystyle -4\)-nél. Most nézzük a bal oldalt. Mivel bármely valós szám koszinusza legalább \(\displaystyle -1\), legfeljebb pedig \(\displaystyle 1\), ezért

\(\displaystyle -1 \le \cos\big[\pi\cdot{\sin{\big(\pi{\cdot{x}}\big)}\big]} \le 1, \)

amelyet \(\displaystyle 4\)-gyel beszorozva a

\(\displaystyle -4 \le 4\cos\big[\pi\cdot{\sin{\big(\pi{\cdot{x}}\big)}\big]} \le 4 \)

egyenlőtlenségrendszerhez jutunk, ami azt jelenti, hogy a megoldandó egyenlet bal oldalának értéke nem nagyobb \(\displaystyle -4\)-nél. A fentiekből következően egyenlőség csakis akkor állhat fenn, ha mindkét oldal értéke egyenlő \(\displaystyle -4\)-gyel, azaz a másodfokú kifejezés felveszi a maximumát, vagyis \(\displaystyle x=\frac32.\) Utolsó lépésként kiszámítjuk az egyenlet bal oldalának értékét \(\displaystyle x=\frac32\)-re:

\(\displaystyle 4 \cdot \cos\big[\pi\cdot{\sin{\Big(\pi{\cdot{\frac32}}\Big)}\big]}=4 \cdot \cos(\pi \cdot (-1))= 4\cos(-\pi)=4 \cdot(-1)=-4. \)

Láthatjuk, hogy teljesül az egyenlőség, tehát az egyenletnek az \(\displaystyle x=\frac32\) az egyetlen valós megoldása.

Statistics:

36 students sent a solution.
5 points:	Braun Zsófia, Emődi Marcell, Fekete Patrik, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Josepovits Gábor, Keszthelyi Eszter, Lupkovics Lilla, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós.
4 points:	Angyal Fanni Zsófia, Baksa Anna, Hüvös Gergely, Végh Lilian.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2023