Problem C. 1762. (March 2023)
C. 1762. Is there a positive prime number \(\displaystyle p\) for which
\(\displaystyle \log_{p-2}(4p-11)=m, \)
where the parameter \(\displaystyle m\) denotes one of the digits of \(\displaystyle 2023\)?
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on April 11, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A logaritmus értelmezése miatt \(\displaystyle p-2>0\), tehát \(\displaystyle p>2\). Ugyanakkor \(\displaystyle p-2\neq 1\), ezért \(\displaystyle p\neq 3\). A logaritmus numerusza pozitív szám, azaz \(\displaystyle 4p-11>0\), így \(\displaystyle \displaystyle{p>\frac{11}{4}}\).
Ezért a \(\displaystyle p\) prímszámot a \(\displaystyle p\geq 5\) egyenlőtlenségnek megfelelő prímszámok között keressük.
A feltétel szerint csak \(\displaystyle m=0\), \(\displaystyle m=2\) vagy \(\displaystyle m=3\) lehetséges.
Ha \(\displaystyle m=0\), akkor a logaritmus definíciója szerint \(\displaystyle (p-2)^0=4p-11\), ebből a \(\displaystyle 4p-11=1\) egyenletet kapjuk, amelyből azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p=3\). Ez a \(\displaystyle p\neq 3\) feltétel miatt a feladatnak nem megoldása.
Ha \(\displaystyle m=2\), akkor a logaritmus definícióját alkalmazva \(\displaystyle (p-2)^2=4p-11\). A műveletek elvégzésével és rendezéssel a
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle p^2-8p+15=0\) |
másodfokú egyenletet kapjuk.
Az egyenletnek két pozitív megoldása van: \(\displaystyle p_1=3\) és \(\displaystyle p_2=5\).
Ezek közül a \(\displaystyle p_1=3\) a feltétel miatt nem megoldás, a \(\displaystyle p=5\) pozitív prím azonban minden feltételnek eleget tesz, és behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása a feladatnak.
Ha most \(\displaystyle m=3\), akkor \(\displaystyle (p-2)^3=4p-11\), akkor a műveletek elvégzésével a \(\displaystyle p^3-6p^2+12p-8=4p-11\), illetve rendezéssel a
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle p^3-6p^2+8p+3=0\) |
harmadfokú egyenlet adódik.
Megmutatjuk, hogy a (2) egyenletnek nincs a feltételeknek megfelelő megoldása.
Ehhez elegendő bizonyítani, hogy \(\displaystyle p^3+8p>6p^2\). Az egyenlőtlenség mindkét oldalának \(\displaystyle p\)-vel való osztása ekvivalens átalakítás, ahonnan előbb a \(\displaystyle p^2-6p+8>0\), innen pedig a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle (p-3)^2>1\) |
egyenlőtlenséget kapjuk.
A (3) egyenlőtlenség minden, a \(\displaystyle p\geq 5\) feltételnek megfelelő \(\displaystyle p\) prímszámra fennáll, ezért az is igaz, hogy \(\displaystyle p^3+8p>6p^2\). Ebből pedig azonnal következik, hogy \(\displaystyle p^3-6p^2+8p>0\), vagyis a (3) egyenlet a feltételek mellett valóban nem teljesülhet.
A feladat egyetlen megoldása tehát a \(\displaystyle p=5\) prímszám, ekkor \(\displaystyle m=2\).
Statistics:
37 students sent a solution. 5 points: Balla Emese, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Huszár Dóra , Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna, Tomesz László Gergő, Tóth Csilla Réka, Török Hanga, Varga Dániel 829, Végh Lilian. 4 points: Fekete Patrik, Szabó Viktória Ildikó , Waldhauser Miklós. 3 points: 3 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2023