 |
A C. 1765. feladat (2023. április) |
C. 1765. A szabályos négyoldalú \(\displaystyle ABCDE\) gúla alaplapja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet, a gúla minden éle \(\displaystyle 32\) egység hosszúságú. Egy csiga az \(\displaystyle E\) csúcsból az \(\displaystyle A\) pontba igyekszik a következő módon: először az \(\displaystyle EA\) élen abba a \(\displaystyle P\) pontba jut el, amelyre \(\displaystyle EP=2\). Innen az \(\displaystyle ABE\) lap felületén haladva az \(\displaystyle EB\) él \(\displaystyle Q\) pontjába érkezik, ahol \(\displaystyle EQ=4\). Ezután a \(\displaystyle BCE\) lap felületén az \(\displaystyle EC\) él azon \(\displaystyle R\) pontjába mászik, amelyre \(\displaystyle ER=8\), innen pedig a \(\displaystyle CDE\) lapon az \(\displaystyle ED\) élen levő \(\displaystyle S\) pontba, ahol \(\displaystyle ES=16\). Végül az \(\displaystyle S\)-ből az \(\displaystyle A\) pontba mászik a \(\displaystyle DAE\) lap felületén. Legalább mekkora távolságot tesz meg összesen a csiga?
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Válasszuk ki a gúla egyik lapján, például az \(\displaystyle ABE\) lapon az \(\displaystyle AE\) él egy tetszőleges \(\displaystyle X\) belső pontját, amelyre \(\displaystyle EX=x\) és a \(\displaystyle BE\) élen azt az \(\displaystyle Y\) pontot, amelyre \(\displaystyle EY=2x\), legyen továbbá \(\displaystyle XY=y\). Tekintsük az 1. ábrát.
1. ábra
Az \(\displaystyle EXY\) háromszögben felírjuk a koszinusztételt az \(\displaystyle y\) hosszúságú oldalra:
\(\displaystyle y^2=x^2+4x^2-4x^2\cdot \cos60^{\circ},\)
ahonnan \(\displaystyle \displaystyle{\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}}\) ismeretében \(\displaystyle y^2=3x^2\), emiatt pedig
\(\displaystyle x^2+y^2=4x^2.\)
A kapott összefüggés a Pitagorasz-tétel megfordítása alapján azt jelenti, hogy az \(\displaystyle EXY\) az \(\displaystyle X\) pontban derékszögű háromszög, azaz \(\displaystyle XY\) merőleges az \(\displaystyle AE\) szakaszra.
Nyilvánvaló, hogy ha \(\displaystyle X\) az \(\displaystyle E\)-től az \(\displaystyle AE\) szakasz felénél (\(\displaystyle 16\) egységnél) kisebb távolságra van, akkor \(\displaystyle Y\) a \(\displaystyle BE\) szakasz belső pontja, ha pedig \(\displaystyle \displaystyle{EX=\frac{AE}{2}}\), akkor \(\displaystyle Y=B\).
Az \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) pontok közötti legrövidebb távolság a két pontot összekötő egyenes szakasz.
A csiga tehát, amikor az \(\displaystyle ABE\) lapon az \(\displaystyle X\) pontból az \(\displaystyle Y\) pontba mászik, a feladat feltételei mellett akkor teszi meg a legrövidebb utat, ha az \(\displaystyle X\) pontból az \(\displaystyle AE\) élre merőleges irányban haladva az \(\displaystyle Y\) pontba jut, megtett útjának hossza
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle XY=x\sqrt{3}.\) |
A feltétel miatt az \(\displaystyle ABE\) lapon \(\displaystyle x=EP=2\) és \(\displaystyle EQ=2x=4\), ezért (1) szerint a csiga úthossza ezen a lapon
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle PQ=2\sqrt{3}.\) |
Mivel \(\displaystyle EQ=4, ER=8\) és \(\displaystyle ES=16\), ezért hasonlóan kapjuk, hogy a csiga a \(\displaystyle BCE\) lapon akkor teszi meg a legrövidebb utat, ha a \(\displaystyle Q\) pontból a \(\displaystyle BE\) szakaszra merőlegesen haladva jut az \(\displaystyle R\) pontba, a \(\displaystyle CDE\) lapon az \(\displaystyle R\) pontból a \(\displaystyle CE\)-re merőleges irányban haladva a \(\displaystyle DE\) él \(\displaystyle S\) pontjába érkezik, végül a \(\displaystyle DAE\) lapon az \(\displaystyle S\) pontból a \(\displaystyle DE\)-re merőlegesen haladva jut az \(\displaystyle AE\) él \(\displaystyle A\) pontjába. Ezekből (2)-höz hasonlóan adódik, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle QR=4\sqrt{3}, \quad RS=8\sqrt{3}, \quad SA=16\sqrt{3}.\) |
2. ábra
A 2. ábrán látható \(\displaystyle EPQRSA\) térbeli töröttvonal hosszát (2) és (3) felhasználásával kapjuk:
\(\displaystyle EP+PQ+QR+RS+SA=2+30\sqrt{3}\approx 53,96.\)
A csiga tehát a gúla \(\displaystyle AE\) élén és a gúla lapjain összesen legalább \(\displaystyle 2+30\sqrt{3}\approx 53,96\) távolságegységnyi utat tesz meg.
Statisztika:
107 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 53 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2023. áprilisi matematika feladatai