Problem C. 1766. (April 2023)
C. 1766. Show that in every triangle (with conventional notations),
\(\displaystyle \sqrt{a\sin{\alpha}}+\sqrt{b\sin{\beta}}+\sqrt{c\sin{\gamma}}=\sqrt{(a+b+c)(\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma})}. \)
Proposed by G. Holló, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. A háromszög \(\displaystyle a,b,c\) oldalhosszai pozitív számok, és az oldalakkal rendre szemben felvő \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) szögek mindegyike a \(\displaystyle \displaystyle{\Big]0;\pi\Big[}\) intervallumba esik. Ezen az intervallumon az \(\displaystyle f(x)=\sin(x)\) függvény értéke pozitív, tehát a bizonyítandó egyenlőségben szereplő kifejezések mindegyike pozitív. Ezért ha az egyenlőség mindkét oldalát szorozzuk a \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{c}{\sin{\gamma}}}}\) kifejezéssel, akkor ekvivalens átalakítást hajtunk végre. A beszorzás után a bizonyítandó állítás:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{ac\sin\alpha}{\sin\gamma}}+\sqrt{\frac{bc\sin\beta}{\sin\gamma}}+\sqrt{c^2}=\sqrt{\big(a+b+c\big)\Bigg(\frac{c\sin\alpha}{\sin\gamma}+\frac{c\sin\beta}{\sin\gamma}+c\Bigg)}}.\) |
A szinusztétel szerint \(\displaystyle \displaystyle{\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{a}{c},\quad \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{b}{c}}\), így az (1) összefüggésből azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2}=\sqrt{\big(a+b+c\big)\big(a+b+c\big)}=\sqrt{\big(a+b+c\big)^2}.\) |
A pozitív \(\displaystyle a,b,c\) számok miatt (2)-ből az következik, hogy
\(\displaystyle a+b+c=a+b+c,\)
ez pedig nyilvánvalóan igaz.
Az ekvivalens átalakítások miatt lépéseink megfordíthatók és mivel egy igaz állításhoz jutottunk, ezért a bizonyítandó állítás is teljesül.
2. megoldás. A háromszög \(\displaystyle a,b,c\) oldalhosszai pozitív számok, és az oldalakkal rendre szemben felvő \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) szögek mindegyike a \(\displaystyle \displaystyle{\Big]0;\pi\Big[}\) intervallumba esik. Ezen az intervallumon az \(\displaystyle f(x)=\sin(x)\) függvény értéke pozitív, tehát a bizonyítandó egyenlőségben szereplő kifejezések mindegyike pozitív.
Ismert, hogy a háromszög kétszeres területe:
\(\displaystyle \displaystyle{2T=ab\sin\gamma=bc\sin \alpha=ca\sin\beta},\)
ebből az összefüggésből azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\sin\alpha=\frac{2T}{bc};\quad \sin\beta=\frac{2T}{ca};\quad \sin\gamma=\frac{2T}{ab}}.\) |
Ennek alapján a bizonyítandóval ekvivalens egyenlőség a következő:
\(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a2T}{bc}}+\sqrt{\frac{b2T}{ca}}+\sqrt{\frac{c2T}{ab}}=\sqrt{\big(a+b+c\big)\Bigg(\frac{2T}{bc}+\frac{2T}{ca}+\frac{2T}{ab}\Bigg)}},\)
ahonnan mindkét oldalnak a pozitív \(\displaystyle \sqrt{2T}\) kifejezéssel való osztása elvivalens átalakítás, tehát a bizonyítandó egyenlőség
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a}{bc}}+\sqrt{\frac{b}{ca}}+\sqrt{\frac{c}{ab}}=\sqrt{\big(a+b+c\big)\Bigg(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}\Bigg)}}.\) |
A (4) egyenlőség mindkét oldalának négyzetre emelése ismét ekvivalens átalakítás:
\(\displaystyle \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}+2\sqrt{\frac{1}{c^2}}+2\sqrt{\frac{1}{a^2}}+2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\big(a+b+c\big)\Bigg(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}\Bigg),\)
ahonnan a pozitív \(\displaystyle a,b,c\) számok miatt azt kapjuk, hogy:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}+\frac{2}{c}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=\big(a+b+c\big)\Bigg(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}\Bigg).\) |
Az (5) összefüggés jobb oldalán a műveletek elvégzése és egyszerűsítések, illetve összevonások után adódik, hogy
\(\displaystyle \frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}+\frac{2}{c}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=\frac{a}{bc}+ \frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}+\frac{2}{c}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b},\)
ez bármely háromszög \(\displaystyle a,b,c\) oldalaira nyilván érvényes.
Ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, ezért lépéseink megfordíthatók voltak, és mivel egy igaz állításhoz jutottunk, ezért az eredeti bizonyítandó állítás is teljesül.
3. megoldás.
A háromszög \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) oldalhosszai pozitív számok, és az oldalakkal rendre szemben felvő \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) és \(\displaystyle \gamma\) szögek mindegyike a \(\displaystyle \displaystyle{\Big]0;\pi\Big[}\) intervallumba esik. Ezen az intervallumon az \(\displaystyle f(x)=\sin(x)\) függvény értéke pozitív, tehát a bizonyítandó egyenlőségben szereplő kifejezések mindegyike pozitív. Eszerint az
\(\displaystyle \overrightarrow{u}\Big(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\Big);\qquad \overrightarrow{v}\Big(\sqrt{\sin \alpha},\sqrt{\sin \beta},\sqrt{\sin \gamma}\Big)\)
térbeli vektorok minden koordinátája pozitív. A két vektor skaláris szorzatát megkaphatjuk a megfelelő koordináták szorzatának összegeként:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\sqrt{a\sin \alpha}+\sqrt{b\sin\beta}+\sqrt{c\sin\gamma},\) |
ez éppen a bizonyítandó egyenlőség bal oldala.
Az \(\displaystyle \overrightarrow{u}\) és \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) hossza a két vektor megfelelő koordnátái négyzetösszegének négyzetgyöke, azaz
\(\displaystyle |{\overrightarrow{u}}|=\sqrt{a+b+c}; \qquad |{\overrightarrow{v}|}=\sqrt{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma},\)
ezzel a két vektor skaláris szorzata definíció szerint
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\sqrt{a+b+c}\cdot \sqrt{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma} \cdot {\cos\varphi}},\) |
ahol \(\displaystyle \varphi\) a két térbeli vektor által bezárt szög.
Látható, hogy (7) jobb oldala a \(\displaystyle \cos\varphi\) tényező kivételével megegyezik a bizonyítandó egyenlőség jobb oldalával, ezért a feladat állítása pontosan akkor igaz, ha
| \(\displaystyle (8)\) | \(\displaystyle \cos\varphi=1,\) |
vagyis ha \(\displaystyle \varphi=0^{\circ}\), azaz ha a két térbeli vektor egyirányú.
Elegendő tehát azt igazolnunk, hogy a vektorok megfelelő koordinátáinak aránya \(\displaystyle 0\)-tól különböző valós szám.
Ez pedig teljesül, mert a megfelelő koordináták aránya:
\(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a}{\sin\alpha}};\quad \sqrt{\frac{b}{\sin\beta}}; \quad \sqrt{\frac{c}{\sin\gamma}}},\)
ezek a kifejezések pedig a minden háromszögre érvényes szinusztétel miatt egyenlők. Eszerint (8) valóban fennáll, így
\(\displaystyle \sqrt{a\sin \alpha}+\sqrt{b\sin\beta}+\sqrt{c\sin\gamma}=\sqrt{a+b+c}\cdot \sqrt{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma},\)
és ez ekvivalens a feladat állításával.
Megjegyzések. 1) Az 1. megoldásban használt \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{c}{\sin{\gamma}}}}\) kifejezés az általános szinusztétel szerint \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{2R}}\)-rel egyenlő, ahol \(\displaystyle R\) a háromszög körülírt körének sugara.
2) A 2. megoldásban a (3) alatti összefüggéseket a bizonyítandó állításba írva négyzetre emelés nélkül is eredményre juthatunk.
Statistics:
19 students sent a solution. 5 points: Braun Zsófia, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Sipeki Márton, Tomesz László Gergő, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós. 4 points: Baksa Anna, Fiser 234 Boldizsár, Kiss101Dávid, Őzbas Yasin, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023