Problem C. 1767. (April 2023)

C. 1767. Given are \(\displaystyle 2\) coins of \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 3\) coins of \(\displaystyle 17\), \(\displaystyle 5\) coins of \(\displaystyle 119\), \(\displaystyle 7\) coins of \(\displaystyle 289\), \(\displaystyle 11\) coins of \(\displaystyle 2023\) and \(\displaystyle n\) coins of \(\displaystyle 1\). Two coins are selected at random, and their values are multiplied together, and a result of \(\displaystyle 2023\) is obtained. Find the value of \(\displaystyle n\), given that the probability of obtaining that result is \(\displaystyle \frac{12}{55}\).

Proposed by O. Teleki, Tököl

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Összesen \(\displaystyle 2+3+5+7+11+n=n+28\) darab érme van, ezek közül \(\displaystyle \displaystyle{\binom{n+28}{2}}\)-féleképpen választhatunk ki \(\displaystyle 2\) darabot a sorrendre való tekintet nélkül, így ez az eseménytér számossága. Kedvezőek azok az események, amelyekben a két érme névértékének szorzata éppen \(\displaystyle 2023\), ez \(\displaystyle 3\)-féleképpen valósulhat meg.
1. eset. Mivel \(\displaystyle 2023=1 \cdot 2023\), és \(\displaystyle n\) darab \(\displaystyle 1\)-es, valamint \(\displaystyle 11\) darab \(\displaystyle 2023\)-as érme van, így a megfelelő esetek száma \(\displaystyle n \cdot 11=11n\).
2. eset. Mivel \(\displaystyle 2023 = 7 \cdot 289\), a megfelelő érmék száma pedig rendre \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 7\), ezért ebben az esetben \(\displaystyle 2 \cdot 7=14\) megfelelő eset van.
3. eset. Végül, \(\displaystyle 2023= 17 \cdot 119\), a megfelelő érmék száma pedig rendre \(\displaystyle 3\) és \(\displaystyle 5\), ezért ebben az esetben \(\displaystyle 3 \cdot 5=15\) megfelelő eset van.

A feladat feltételeinek megfelelő kiválasztásból összesen \(\displaystyle 11n+14+15=11n+29\) darab van, így a valószínűség értéke:

\(\displaystyle \frac{11n+29}{\binom{n+28}{2}}=\frac{11n+29}{\frac{(n+28)(n+27)}{2!}}=\frac{12}{55}.\)

Keresztbe szorzunk:

\(\displaystyle 55(11n+29)=6(n+28)(n+27),\)

majd rendezés és nullára redukálás után az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

\(\displaystyle 6n^2-275n+2941=0.\)

Az egyenlet gyökei \(\displaystyle \displaystyle{n_1=\frac{173}{6}}\) és \(\displaystyle n_2=17\), közülük csak az utóbbi pozitív egész szám, így csak ez lehet a feladat megoldása.

Az érmék között \(\displaystyle 17\) darab \(\displaystyle 1\)-es névértékű van.

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Braun Zsófia, Dobos 256 Dávid, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Jójárt Emese, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Őzbas Yasin, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Szegedi Ágoston, Tomesz László Gergő, Tóth Csilla Réka, Waldhauser Miklós.
4 points:	Kiss101Dávid, Szittyai Anna, Varga Dániel 829, Végh Lilian.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2023