Problem C. 1770. (May 2023)
C. 1770. Solve the equation
\(\displaystyle \sqrt{7+\frac{3}{\sqrt{x}}}=7-\frac{9}{x} \)
over the set of real numbers.
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on June 12, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}}}\) kifejezés értelmezése miatt \(\displaystyle x>0\), ugyanakkor teljesülnie kell a \(\displaystyle \displaystyle{7-\frac{9}{x}>0}\) egyenlőtlenségnek is, amelyből \(\displaystyle \displaystyle{x>\frac{9}{7}}\) következik. Ezért az egyenlet megoldását a \(\displaystyle \displaystyle{\Bigg]\frac{9}{7};\infty\Bigg[}\) számhalmazon keressük.
Alkalmazzuk a
\(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{7+\frac{3}{\sqrt{x}}}=a}\)
helyettesítést, a feltételek alapján nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle a>0\). Ebből négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2-\frac{3}{\sqrt{x}}=7}.\) |
Az alkalmazott helyettesítés azt is jelenti, hogy az egyenlet jobb oldalának értéke szintén \(\displaystyle a\)-val egyenlő, azaz \(\displaystyle \displaystyle{7-\frac{9}{x}=a}\).
Mivel
\(\displaystyle \displaystyle{\Bigg(\frac{3}{\sqrt{x}}\Bigg)^2=\frac{9}{x}},\)
ezért a
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}}=b}\)
újabb helyettesítéssel:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle a+b^2=7.\) |
Az (1) és (2) összefüggések szerint \(\displaystyle a^2-b=a+b^2\), ahonnan átrendezéssel és szorzattá alakítással kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \Big(a+b\Big)\Big(a-b-1\Big)=0.\) |
A (3) összefüggés bal oldalán szereplő \(\displaystyle a+b\) kifejezés nem lehet 0, hiszen \(\displaystyle a>0\) és az \(\displaystyle x>0\) feltétel miatt nyilván \(\displaystyle b>0\) is igaz. Ezért csak \(\displaystyle a-b-1=0\) lehetséges, amelyből \(\displaystyle a=b+1\) adódik.
A kapott összefüggést (2)-vel összevetve \(\displaystyle b+1+b^2=7\), illetve rendezéssel
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle b^2+b-6=0.\) |
A (4) másodfokú egyenletnek két megoldása van, ezek
\(\displaystyle b_1=2;\qquad b_2=-3.\)
A \(\displaystyle b>0\) feltétel miatt \(\displaystyle b_2\) nem megoldás, tehát csak \(\displaystyle b=2\) lehetséges.
A \(\displaystyle \displaystyle{\frac{3}{\sqrt{x}}=b}\) helyettesítés mindkét oldalának négyzetre emelésével és rendezéssel
\(\displaystyle x=\frac{9}{4}.\)
A kapott valós szám megfelel a feladat minden feltételének és behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása az eredeti egyenletnek, ekkor az egyenlet mindkét oldalának értéke 3.
Statistics:
88 students sent a solution. 5 points: Braun Zsófia, Ehrlich Máté, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Iván Máté Domonkos, Járdánházi-Kurutz Vilmos, Mészáros Anna Veronika, Papp Zsófia, Richlik Márton, Sipeki Márton, Szabó Donát, Varga Dániel 829. 4 points: Blaskovics Ádám, Csiszár András, Gerencsér László, Gyenes Károly, Holczer Kenéz, Juhos Bálint András, Kerekes András, Keszthelyi Eszter, Kocsmár Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Márfai Dóra, Márkus Dávid, Masa Barnabás, Monoczki Máté, Németh Hanna Júlia , Pázmándi József Áron, Petró Péter, Raffay Gergely, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Simon Bálint, Somogyi Dóra, Teveli Jakab, Török Eszter Júlia, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára. 3 points: 11 students. 2 points: 11 students. 1 point: 12 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023