Problem C. 1772. (May 2023)

C. 1772. How many at most three-digit numbers are there in decimal notation that become a palindrome number if converted to binary notation? (A number is called a palindrome if its digits read the same left to right and right to left.)

Proposed by L. Koncz, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A tízes számrendszerben a legnagyobb háromjegyű pozitív egész szám a \(\displaystyle 999\), amely kisebb, mint \(\displaystyle 1024 = 2^{10},\) ezért a vizsgált számok kettes számrendszer­beli alakjában a \(\displaystyle 2^9\) a legnagyobb helyiérték, így ezek a számok a kettes számrend­szerben legfeljebb tízjegyűek. A kettes számrendszerbeli számjegyek száma alapján összeszámoljuk a megfelelő számo­kat.

Az egyetlen pozitív egyjegyű kettes számrendszerbeli szám palindromszám.

A kétjegyűek közül csak a \(\displaystyle 11\) palindromszám.

A háromjegyűek első és így utolsó számjegye biztosan \(\displaystyle 1\), a középső számjegy kétféle lehet, tehát \(\displaystyle 2\) megfelelő háromjegyű szám van.

A négyjegyűek első és így utolsó számjegye biztosan \(\displaystyle 1\), a második számjegy kétféle lehet, amely meghatározza a harmadik számjegyet is, tehát \(\displaystyle 2\) megfelelő négyjegyű szám van.

Ehhez hasonlóan az öt- és hatjegyű számoknak a második és harmadik, a hét- és nyolcjegyű számoknak a második, harmadik és negyedik, a kilenc- és tízjegyű számoknak pedig a második, harmadik, negyedik és ötödik számjegyét választhatjuk meg szabadon. Ha \(\displaystyle k\) darab szabadon megválasztható számjegye van a számnak, akkor \(\displaystyle 2^k\) megfelelő, adott számjegyű szám van. Ez összesen \(\displaystyle 2 \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + 16)=62\) darab szám, de ebből le kell vonni azok számát, amelyek a tízes számrendszerben már négyjegyűek.

Mivel \(\displaystyle 1000_{10} = 1111101000_2\), így az \(\displaystyle 1000\) és az \(\displaystyle 1023\) közötti számok kettes számrendszerbeli alakjának első öt helyiértékén \(\displaystyle 1\)-es áll. Ezek közül csak az \(\displaystyle 1023\) kettes számrendszerbeli alakja lesz palindromszám, hiszen \(\displaystyle 10\) darab \(\displaystyle 1\)-est tartalmaz.

A fentiek alapján összesen \(\displaystyle 62-1= 61\) darab, a feltételeknek megfelelő szám van.

Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:	Baksa Anna, Braun Zsófia, Fiser 234 Boldizsár, Hosszu Noel, Keszthelyi Eszter, Mészáros Anna Veronika, Petró Péter, Richlik Márton, Schneider Dávid, Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Márton, Tomesz László Gergő, Varga Dániel 829, Waldhauser Miklós.
4 points:	Jójárt Emese, Őzbas Yasin, Szegedi Ágoston, Szittyai Anna.
2 points:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2023