 |
A C. 1773. feladat (2023. szeptember) |
C. 1773. Határozzuk meg a \(\displaystyle p\) egész szám értékét úgy, hogy a \(\displaystyle (p-3)x+p+5=(2-p)x\) egyenlet \(\displaystyle x\) valós megoldásának értéke legalább \(\displaystyle 2\) legyen. Adjuk meg minden lehetséges \(\displaystyle p\) értékre az egyenlet megoldását.
Javasolta: Bíró Bálint, Eger
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A zárójelek felbontásával és rendezéssel azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{p+5=(5-2p)x}.\) |
Mivel \(\displaystyle p\) egész szám, ezért \(\displaystyle 5-2p\neq{0}\), tehát (1) mindkét oldalát osztva az \(\displaystyle 5-2p\) kifejezéssel:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{p+5}{5-2p}}.\) |
A feltétel szerint \(\displaystyle x\geq 2\), így a
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{p+5}{5-2p}\geq 2}\) |
egyenlőtlenség \(\displaystyle p\) egész megoldásait keressük.
Két eset lehetséges: \(\displaystyle 5-2p>0\), vagy \(\displaystyle 5-2p<0\).
Ha \(\displaystyle 5-2p>0\), akkor \(\displaystyle \displaystyle{p<\frac{5}{2}}\), ezért a (3) egyenlőtlenség mindkét oldalát az \(\displaystyle 5-2p>0\) kifejezéssel szorozva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p+5\geq 10-4p\), ahonnan rendezéssel \(\displaystyle p\geq 1\) adódik. A \(\displaystyle p\)-re kapott mindkét egyenlőtlenségnek csak a \(\displaystyle p=1\), illetve \(\displaystyle p=2\) egész számok felelnek meg. Ezeket az eredeti egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle x=2\), illetve \(\displaystyle x=7\).
Ha pedig \(\displaystyle 5-2p<0\), akkor egyrészt \(\displaystyle \displaystyle{p>\frac{5}{2}}\), másrészt a (3) egyenlőtlenség mindkét oldalát az \(\displaystyle 5-2p<0\) kifejezéssel szorozva azt kapjuk, hogy \(\displaystyle p\leq{1}\).
A \(\displaystyle p\)-re kapott két feltétel ezúttal ellentmond egymásnak, így az \(\displaystyle 5-2p<0\) esetben nem kapunk megfelelő \(\displaystyle p\) egész számot, és emiatt az egyenletnek sincs a feltételeknek megfelelő valós megoldása.
A feladat megoldásai tehát csak a \(\displaystyle p=1\) és \(\displaystyle p=2\) egész számok, az egyenlet ezeknek megfelelő valós megoldásai \(\displaystyle x=2\), illetve \(\displaystyle x=7\).
Statisztika:
289 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 89 versenyző. 4 pontot kapott: 55 versenyző. 3 pontot kapott: 31 versenyző. 2 pontot kapott: 21 versenyző. 1 pontot kapott: 27 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 35 dolgozat.
A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai