A C. 1774. feladat (2023. szeptember)

C. 1774. Az \(\displaystyle ABCD\) trapézban \(\displaystyle AB\parallel{CD}\). Az \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle CD\) oldal felezőpontja \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle AC\) átlót a \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle DB\) és \(\displaystyle FB\) szakasz rendre a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) pontban metszi.

Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\frac{CP}{PA}\cdot{\frac{CQ}{QA}}\cdot{\frac{CR}{RA}}=\Bigg(\frac{CD}{AB}\Bigg)^3}\).

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Tekintettel arra, hogy az \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) alap felezőpontja, a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok ebben a sorrendben fognak egymás után következni az \(\displaystyle AC\) átlón függetlenül attól, hogy mekkorák a trapéz oldalai.

\(\displaystyle AB\parallel CD\), ezért az alábbi szögpárok tagjai váltószögek, vagyis igazak a következő egyenlőségek: \(\displaystyle BAC\sphericalangle=ACD\sphericalangle\), \(\displaystyle AED\sphericalangle=EDC\sphericalangle\), \(\displaystyle ABD\sphericalangle=BDC\sphericalangle\) és \(\displaystyle ABF\sphericalangle=BFC\sphericalangle\), továbbá a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontoknál csúcsszögpárok vannak, így páronként egymáshoz hasonló háromszögek keletkeznek, amelyekre igazak a megfelelő oldalarányok alábbi egyenlőségei:

\(\displaystyle AEP\triangle \sim CDP\triangle \Rightarrow \frac{CP}{PA}=\frac{CD}{AE},\)

\(\displaystyle ABQ\triangle \sim CDQ\triangle \Rightarrow \frac{CQ}{QA}=\frac{CD}{AB},\)

\(\displaystyle ABR\triangle \sim CFR\triangle \Rightarrow \frac{CR}{RA}=\frac{CF}{AB}.\)

A három fenti egyenlőséget összeszorozva azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{CP}{PA}\cdot{\frac{CQ}{QA}}\cdot{\frac{CR}{RA}} = \frac{CD^2}{AB^2}\cdot \frac{CF}{AE} = \frac{CD^2}{AB^2}\cdot \frac{2CF}{2AE}=\Bigg(\frac{CD}{AB}\Bigg)^{3}.\)

Statisztika:

170 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	14 dolgozat.

A KöMaL 2023. szeptemberi matematika feladatai