 |
A C. 1780. feladat (2023. október) |
C. 1780. Vannak-e olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a;b)\) rendezett párok, amelyekre az \(\displaystyle a^2-2b\) és \(\displaystyle b^2-2a\) is négyzetszám?
(Német versenyfeladat)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik a feladat feltételeinek megfelelő \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) számpár, és nézzük meg, mik következnek ebből. Ekkor teljesülne, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2>a^2-2b},\) |
hiszen ez minden \(\displaystyle a\) és pozitív \(\displaystyle b\) esetén igaz, valamint \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) közül az egyik nem kisebb, mint a másik. Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) szerepe teljesen szimmetrikus, feltehető, hogy az \(\displaystyle a\) nem kisebb, vagyis \(\displaystyle a \geq b\) . Ebből következik, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2-2b\geq a^2-2a=(a-1)^2-1}.\) |
Az (1) és (2) sorok összevetéséből kiderül, hogy \(\displaystyle a^2–2b\) olyan négyzetszám, amely \(\displaystyle a^2\)–nél kisebb, de \(\displaystyle ((a–1)^2-1)\)–nél nem kisebb. Vagyis \(\displaystyle a^2–2b\) vagy maga az \(\displaystyle (a–1)^2\), vagy egy olyan négyzetszám, ami egy másik négyzetszámnál – az \(\displaystyle (a–1)^2\)-nél – eggyel kisebb. Szomszédos négyzetszámok csak az 1 és a 0, vagyis ez utóbbi esetben \(\displaystyle a^2–2b=0\). Az \(\displaystyle a \geq b\) feltétel miatt ez csak úgy teljesülhet, ha \(\displaystyle a=b=2\). Ez helyes eredmény, mivel ekkor \(\displaystyle b^2–2a\) is 0, vagyis szintén négyzetszám.
Az első esetben viszont annak kéne teljesülnie, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2-2b=(a-1)^2}.\) |
Ekvivalens átalakításokkal a (3) egyenlőség a \(\displaystyle 2a–1= 2b\) alakra hozható, amiből látszik, hogy ez semelyik \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egészre nem teljesül, hiszen a bal oldalon páratlan, a jobb oldalon páros szám áll.
Vagyis csak egy ilyen pár van, a \(\displaystyle (2;2)\).
Statisztika:
141 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Beinschroth Máté, Blaskovics Ádám, Braun Zsófia, Budai Máté, Danka Emma, Domján István, Fiser 234 Boldizsár, Győri Áron, Gyuricsek Ákos, Harmincz Sára, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Kriston Nándor, Libor Andrea, Milovecz Fruzsina Panka, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 292 Korina, Németh Hanna Júlia , Pázmándi Renáta , Petró Péter, Sipos Márton, Szabó Donát, Szőke Klára, Tóth Marcell Domonkos, Török Eszter Júlia, Volford Barnabás. 4 pontot kapott: 18 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 27 versenyző. 0 pontot kapott: 20 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 13 dolgozat.
A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai