 |
A C. 1781. feladat (2023. október) |
C. 1781. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a
$$\begin{align*} 3x+\sqrt{y^2-21y} & =2x^2,\\ x^2-x-\sqrt{y^2-21y} & =x^3 \end{align*}$$egyenletrendszert.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha összeadjuk a két egyenletet, akkor rendezés után a következőket kapjuk:
\(\displaystyle 0=x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1).\)
Vizsgáljuk meg, hogy az így adódó \(\displaystyle x=0\), \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=1\) esetekhez milyen \(\displaystyle y\)-ok tartoznak!
- Ha \(\displaystyle x=0\), akkor a \(\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=\sqrt{y(y-21)}=0\) megoldásaiként az \(\displaystyle y=0\) és \(\displaystyle y=21\) adódik.
- Ha \(\displaystyle x=-2\), akkor a \(\displaystyle -6+\sqrt{y^2-21y}=8\), illetve rendezés után az \(\displaystyle y^2-21y-196=0\) egyenlet megoldásaiként az \(\displaystyle y=-7\) és \(\displaystyle y=28\) adódik.
- Ha \(\displaystyle x=1\), akkor a behelyettesítés és rendezés után azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{y^2-21y}=-1\), tehát ezen az ágon nincs megoldás.
A megoldás során csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, így a kapott számpárok valóban megoldásai az egyenletrendszernek. Ez behelyettesítéssel is ellenőrizhető.
Összefoglalva tehát, az egyenletrendszer megoldásai a következő \(\displaystyle (x;y)\) rendezett párok: \(\displaystyle (0;0)\), \(\displaystyle (0;21)\), \(\displaystyle (-2;-7)\) és \(\displaystyle (-2;28)\).
Statisztika:
153 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 97 versenyző. 4 pontot kapott: 23 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2023. októberi matematika feladatai