Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1793. feladat (2024. január)

C. 1793. A valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f\) függvényre az alábbi két feltétel mindegyike teljesül (bármely \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\)-re):

\(\displaystyle (1) \)\(\displaystyle f(x)=f(147-x),\)
\(\displaystyle (2) \)\(\displaystyle f(x+100)=f(46-x).\)

Határozzuk meg \(\displaystyle f(200)+f(201)+f(202)\) értékét, ha tudjuk, hogy

\(\displaystyle f(50)+f(51)+f(52)+f(53)=2024. \)

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle (1)\)-es feltétel miatt \(\displaystyle f(x+100)=f(147-(x+100))=f(47-x)\). Ezt \(\displaystyle (2)\)-vel összevetve \(\displaystyle f(47-x)=f(46-x)\) minden valós \(\displaystyle x\)-re, ami azt jelenti, hogy alkalmasan megválasztva \(\displaystyle x\)-et \(\displaystyle f(50)=f(51)=f(52)=f(53)= \ldots =f(200)=f(201)=f(202)\). Létezik is ilyen függvény, például a konstansfüggvény kielégíti az összes feltételt. Az előzőek alapján \(\displaystyle 4 \cdot f(50)=2024\), amiből \(\displaystyle f(50)=2024/4=506.\) Ekkor \(\displaystyle 506=f(200)=f(201)=f(202)\), azaz a megoldás

\(\displaystyle f(200)+f(201)+f(202)=3 \cdot 506=1518.\)


Statisztika:

153 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:68 versenyző.
4 pontot kapott:45 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:11 dolgozat.

A KöMaL 2024. januári matematika feladatai