 |
A C. 1793. feladat (2024. január) |
C. 1793. A valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f\) függvényre az alábbi két feltétel mindegyike teljesül (bármely \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\)-re):
| \(\displaystyle (1) \) | \(\displaystyle f(x)=f(147-x),\) |
| \(\displaystyle (2) \) | \(\displaystyle f(x+100)=f(46-x).\) |
Határozzuk meg \(\displaystyle f(200)+f(201)+f(202)\) értékét, ha tudjuk, hogy
\(\displaystyle f(50)+f(51)+f(52)+f(53)=2024. \)
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle (1)\)-es feltétel miatt \(\displaystyle f(x+100)=f(147-(x+100))=f(47-x)\). Ezt \(\displaystyle (2)\)-vel összevetve \(\displaystyle f(47-x)=f(46-x)\) minden valós \(\displaystyle x\)-re, ami azt jelenti, hogy alkalmasan megválasztva \(\displaystyle x\)-et \(\displaystyle f(50)=f(51)=f(52)=f(53)= \ldots =f(200)=f(201)=f(202)\). Létezik is ilyen függvény, például a konstansfüggvény kielégíti az összes feltételt. Az előzőek alapján \(\displaystyle 4 \cdot f(50)=2024\), amiből \(\displaystyle f(50)=2024/4=506.\) Ekkor \(\displaystyle 506=f(200)=f(201)=f(202)\), azaz a megoldás
\(\displaystyle f(200)+f(201)+f(202)=3 \cdot 506=1518.\)
Statisztika:
153 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 67 versenyző. 4 pontot kapott: 45 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 12 dolgozat.
A KöMaL 2024. januári matematika feladatai