 |
A C. 1800. feladat (2024. február) |
C. 1800. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle n\) természetes szám, akkor a
\(\displaystyle \Bigl[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\Bigr] \)
intervallumban nincs egész szám.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle k\) pozitív egész szám, amely az adott intervallumban van, azaz igaz, hogy \(\displaystyle \sqrt{16n+21}\le k \le \sqrt{16n+24}.\) Tudjuk, hogy \(\displaystyle n \ge 0\), tehát \(\displaystyle 16n+21\) pozitív, így a gyökvonások mindig értelmezettek, valamint mindhárom szám pozitív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás. Négyzetre emelés után azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle 16n+21\le k^2 \le 16n+24,\)
tehát a \(\displaystyle 16n+21,\) \(\displaystyle 16n+22,\) \(\displaystyle 16n+23,\) \(\displaystyle 16n+24\) számok valamelyike négyzetszám kell hogy legyen. Mivel \(\displaystyle 16n+21=16(n+1)+5\), ezért \(\displaystyle 16\)-tal osztva \(\displaystyle 5\) maradékot ad. A \(\displaystyle 16n+22\) szám \(\displaystyle 16\)-tal való osztási maradéka \(\displaystyle 6\), a \(\displaystyle 16n+23\)-é \(\displaystyle 7\), a \(\displaystyle 16n+24\)-é pedig \(\displaystyle 8\). Most nézzük meg, hogy egy \(\displaystyle m\) egész szám négyzete \(\displaystyle 16\)-tal osztva milyen maradékot adhat.
| Az \(\displaystyle m\) maradéka | \(\displaystyle m\) | \(\displaystyle m^2\) | Az \(\displaystyle m^2\) maradéka |
| \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 16l\) | \(\displaystyle 256l^2\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 15\) | \(\displaystyle 16l \pm 1\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 32l +1\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 2\) vagy \(\displaystyle 14\) | \(\displaystyle 16l \pm 2\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 64l +4\) | \(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle 3\) vagy \(\displaystyle 13\) | \(\displaystyle 16l \pm 3\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 96l +9\) | \(\displaystyle 9\) |
| \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 16l \pm 4\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 128l +16\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 5\) vagy \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 16l \pm 5\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 160l +25\) | \(\displaystyle 9\) |
| \(\displaystyle 6\) vagy \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 16l \pm 6\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 192l +36\) | \(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle 7\) vagy \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 16l \pm 7\) | \(\displaystyle 256l^2 \pm 224l +49\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 16l + 8\) | \(\displaystyle 256l^2 +256l +64\) | \(\displaystyle 0\) |
A táblázatból kiolvashatjuk, hogy egy négyzetszám \(\displaystyle 16\)-tal osztva csak \(\displaystyle 0, 1, 4\) vagy \(\displaystyle 9\) maradékot adhat. Ellentmondásra jutottunk, hiszen láttuk, hogy ha létezne megfelelő \(\displaystyle k\), akkor a négyzetének \(\displaystyle 16\)-tal való osztási maradéka kizárólag \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 7\) vagy \(\displaystyle 8\) lehetne. Ezzel a bizonyítás végére értünk, beláttuk, hogy amennyiben \(\displaystyle n\) természetes szám, akkor a \(\displaystyle \left[\sqrt{16n+21}; \sqrt{16n+24}\right ]\) intervallum nem tartalmaz egyetlen egész számot sem.
Statisztika:
120 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 59 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 20 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 6 dolgozat.
A KöMaL 2024. februári matematika feladatai