 |
A C. 1826. feladat (2024. október) |
C. 1826. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<x\leq 1\), akkor
\(\displaystyle \sqrt{1-x}+\sqrt{4-x}<1+\sqrt{4-3x}. \)
Javasolta: Hujter Mihály, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A \(\displaystyle 0<x\leq 1\) feltétel miatt az egyenlőtlenség mindkét oldalának értéke pozitív, ezért ha négyzetre emeljük őket, akkor ekvivalens átalakítást végzünk. A négyzetre emelés, majd összevonás után az
\(\displaystyle 5-2x+2\sqrt{(1-x)(4-x)} < 5-3x+2\sqrt{4-3x} \)
egyenlőtlenséghez jutunk, amelyet rendezve ismét olyan egyenlőtlenséget kapunk, amelynek mindkét oldalán pozitív kifejezés áll:
\(\displaystyle x+2\sqrt{(1-x)(4-x)} < 2\sqrt{4-3x}.\)
Négyzetre emelünk, majd rendezzük az egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle x^2+4(4-5x+x^2)+4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<4(4-3x),\)
\(\displaystyle x^2+16-20x+4x^2+4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<16-12x,\)
\(\displaystyle 4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<8x-5x^2.\)
Mivel \(\displaystyle 0<x\), ezért \(\displaystyle 0<4x\)-szel elosztva az egyenlőtlenséget a két oldal közötti reláció változatlanul fennáll:
\(\displaystyle \sqrt{(1-x)(4-x)}<2-\frac54x.\)
Látjuk, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, így ismét négyzetre emelünk:
\(\displaystyle (1-x)(4-x)=4-5x+x^2<4-5x+\frac{25}{16}x^2.\)
Végül a kapott egyenlőtlenséget rendezzük, így a
\(\displaystyle 0<\frac{9}{16}x^2\)
egyenlőtlenséghez jutunk, amely minden \(\displaystyle 0<x\leq 1\) valós számra igaz. A megoldás során kizárólag ekvivalens átalakításokat végeztünk. Ezzel a bizonyítás végére értünk.
Statisztika:
71 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Barna 201 Krisztina, Barna Márton, Budai Máté, Csiszár András, Duzmath Izabella, Földi Albert, Gáthi Donát, Hajós Boróka, Herczeg Boglárka, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Iván Máté Domonkos, Király Zsuzsanna , Kókai Ákos, Kovács Etelka Réka, Lipták Bence , Magura Anna Luca, Márfai Dóra, Menyhárt Eszter Panna, Miskolczi Máté Pál, Monoczki Máté, Pánovics Máté, Pikó András, Pink István, Zádori Kristóf, Zhang Suan. 4 pontot kapott: Bencze Mátyás, Farkas Máté, Kulcsár Anna Zita, Palásthy Bánk, Száva András, Vértesaljai Kincső. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 17 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai