Problem C. 1852. (March 2025)

C. 1852. Solve the follwing systen of equations on the set of triples of real numbers: \(\displaystyle \log_5(22+x)=\log_3(12-y)\), \(\displaystyle \log_5(22+y)=\log_3(12-z)\), \(\displaystyle \log_5(22+z)={\log_3(12-x)}\).

Proposed by: Mihály Bencze, Brașov

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kikötések miatt \(\displaystyle -22 < x,\, y,\, z < 12\).

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle x \leq y\). Mivel az egynél nagyobb alapú logaritmusfüggvény szigorúan növekedő, így \(\displaystyle \log_3(12-y)=\log_5(22+x)\leq \log_5(22+y) =\log_3(12-z)\). Tehát \(\displaystyle 12-y \leq 12-z\), azaz \(\displaystyle z \leq y\). Ezt felhasználva, az előzőhöz hasonlóan kapjuk, hogy \(\displaystyle \log_3(12-x) = \log_5(22+z) \leq \log_5(22+y) =\log_3(12-z)\) miatt \(\displaystyle 12-x \leq 12-z\), azaz \(\displaystyle z \leq x\). Végül pedig \(\displaystyle \log_3(12-x) = \log_5(22+z) \leq \log_5(22+x)=\log_3(12-y)\) miatt adódik, hogy \(\displaystyle 12-x \leq 12-y\), azaz \(\displaystyle y \leq x\). Tehát \(\displaystyle x = y = z\).

Amennyiben \(\displaystyle x \geq y\), úgy a fentihez hasonló gondolatmenettel juthatunk azonos eredményre.

Így az egyenletrendszer az alábbi egyenletre egyszerűsödik.

\(\displaystyle \log_5(22+x)=\log_3(12-x).\)

Mivel a bal oldal szigorú motonon nő, míg a jobb oldal szigorú monoton csökken, így legfeljebb egy megoldása van az egyenletnek. Az \(\displaystyle x=3\) pedig megoldás; a kikötésnek megfelel.

Tehát \(\displaystyle x = y = z =3\).

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Hetyei Dániel, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor, Sárecz Bence.
4 points:	Bodnár Levente, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Vinnai Botond.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025