Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 854. feladat (2006. április)

C. 854. Igazoljuk, hogy minden pozitív egész n esetén fennáll a következő egyenlőség:

\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha n=1, akkor igaz az állítás. Tegyük föl, hogy n=k-ra igaz (vagyis {1^3+3^3+5^3+\cdots+(2k-1)^3 \over 1+3+5+\cdots +(2k-1)}=2k^2-1), és ennek felhasználásával lássuk be az állítást n=k+1-re. Mivel 1+3+5+\cdots(2k-1)={1+(2k-1)\over2}\cdot k=k^2, ezért 13+33+53+...+(2k-1)3=(2k2-1)k2.

13+33+53+...+(2k-1)3+(2k+1)3=(2k2-1)k2+(2k+1)3=

=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=\left(2(k+1)^2-1\right)(k+1)^2,

amiből már (felhasználva, hogy 1+3+5+\cdots(2k+1)={1+(2k+1)\over2}\cdot (k+1)=(k+1)^2) következik, hogy az állítás igaz n=k+1-re.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:155 versenyző.
4 pontot kapott:1 versenyző.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai