Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 858. feladat (2006. május)

C. 858. Egy téglalap ugyanakkora kerületű és területű, mint egy olyan rombusz, amelynek egyik szöge 30o. Mekkora a téglalap oldalainak aránya?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Jelöljük a téglalap oldalainak hosszát a-val és b-vel, a rombusz oldalainak hosszát x-el. Mivel a rombusz kisebb szöge 30o-os, ezért magassága az x oldal fele. A két négyszög kerületének és területének egyenlőségéből az alábbi egyenleteket kapjuk:

2(a+b)=4x

ab=\frac{x^2}{2}

Mivel minden ismeretlen pozitív, ezért az elsőt négyzetre emelve és rendezve, majd abból kivonva a második kétszeresét az a2+b2=3x2 egyenlőséget kapjuk. Ide behelyettesítve az eredeti második egyenlőséget az a2+b2-6ab=0 egyenlőség adódik. A nem zérus értékű b2-tel osztva az egyenletet az

(\frac{a}{b})^2-6(\frac{a}{b})+1=0

másodfokú adódik. Ennek gyökei egymás reciprokai, x_{12}=3\pm2\sqrt2. A téglalap nagyobb és kisebb oldalának aránya tehát 3+2\sqrt2.

Statisztika:

147 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:136 versenyző.
4 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai