A C. 904. feladat (2007. május)

C. 904. Mekkorák az $\alpha$ és $\beta$ hegyesszögek, ha igaz rájuk a következő egyenletrendszer?

$2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,$

$\mathop{\rm tg} \beta & =3\mathop{\rm tg} \alpha.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)	4sin $\beta$ cos $\beta$ =6sin $\alpha$ cos $\alpha$ ,

(2)	$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.$

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)	sin² $\beta$ =4,5sin² $\alpha$ .

Mivel $\alpha$ és $\beta$ hegyesszögek, ezért ebből

$\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.$

(3)-at átalakítva:

1-cos² $\beta$ =4,5(1-cos² $\alpha$ ),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)	$\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.$

A sin $\beta$ -ra és cos $\beta$ -ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin $\alpha$ $\neq$ 0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos² $\alpha$ =0,875,

ahonnan

$\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.$

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

$\cos\beta=\sqrt{0,4375},$

és így

$\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.$

Statisztika:

112 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 80 versenyző.

4 pontot kapott: 15 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 6 versenyző.

Nem versenyszerű: 9 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

112 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	80 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?