KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A C. 904. feladat (2007. május)

C. 904. Mekkorák az \alpha és \beta hegyesszögek, ha igaz rájuk a következő egyenletrendszer?

2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,

\mathop{\rm tg} \beta & =3\mathop{\rm tg} \alpha.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)4sin \betacos \beta=6sin \alphacos \alpha,
(2)\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)sin2\beta=4,5sin2\alpha.

Mivel \alpha és \beta hegyesszögek, ezért ebből

\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.

(3)-at átalakítva:

1-cos2\beta=4,5(1-cos2\alpha),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.

A sin \beta-ra és cos \beta-ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin \alpha\neq0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos2\alpha=0,875,

ahonnan

\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

\cos\beta=\sqrt{0,4375},

és így

\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.


Statisztika:

112 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:80 versenyző.
4 pontot kapott:15 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley