Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 906. feladat (2007. szeptember)

C. 906. Egy derékszögű háromszögben az oldalak egy számtani sorozat egymást követő elemei. Határozzuk meg az oldalak arányát. Igazoljuk, hogy a beírt kör sugara a számtani sorozat különbsége.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a rövidebbik befogó hossza a-x, a hosszabbiké a, az átfogóé pedig a+x. Ekkor a Pitagorasz tétel szerint

a2+(a-x)2=(a+x)2,

amiből a\neq0 miatt a=4x következik. Tehát az oldalak aránya:

(a-x) : a : (a+x) = 3x : 4x : 5x = 3 : 4 : 5.

A beírt kör sugarát jelölje \varrho. A háromszög területének kétszeresét kétféleképpen felírva:

2T=3x.4x=\varrho.(3x+4x+5x),

ahonnan x\neq0 miatt \varrho=x következik.

Statisztika:

553 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:391 versenyző.
4 pontot kapott:45 versenyző.
3 pontot kapott:39 versenyző.
2 pontot kapott:28 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:23 versenyző.
Nem versenyszerű:16 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai