 |
A C. 908. feladat (2007. szeptember) |
C. 908. Egy tíztagú társaság moziba ment. Két különböző sorba kaptak 5-5 egymás melletti helyre szóló jegyet. A társaságból Ábel és Bendegúz szeretnének egymás mellé ülni, Zsuzsi és Anikó viszont külön akarnak ülni. Hányféleképpen helyezkedhetnek el?
(5 pont)
A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Számoljuk ki először azoknak az eseteknek a számát, amikor Ábel és Bendegúz egymás mellett ülnek. Tekintsük őket úgy, mintha szétválaszthatatlanok lennének. Ekkor az egyik sorba 4, a másikba 5 ember ül. Hogy melyikben ülnek 4-en, arra 2 lehetőség van. Arra, hogy melyik 3 ember üljön Ábelékkel egy sorban, lehetőség van. Az egyes sorokban a lehetséges sorrendek száma 4!, illetve 5!, és Ábel és Bendegúz egymás között még helyet cserélhetnek.
Ez 2.56.4!.5!.2=645120 lehetőség.
Most számoljuk ki azoknak az eseteknek a számát, amikor Ábeléken kívül még Zsuzsi és Anikó is együtt ül. Tekintsük őket is szétválaszthatatlannak.
Ha a két páros egy sorban ül, akkor a melléjük ülő ember kiválasztására lehetőség van. A két páros és ez az ember 3!.2.2=24 féle módon ülhetnek le a sorukba, hiszen mindkét páros tagjai egymással helyet cserélhetnek. A másik sorban ülő 5 ember 5!-féleképp ülhet egymás mellé. Végül, hogy melyik sorban üljenek a párosok, azt is 2-féleképpen lehet megválasztani.
Ez 6.24.5!.2=34560 lehetőség.
Ha a két páros külön sorban ül, akkor 2-féleképp lehet kiválasztani Ábelék sorát. Ábelékhez még kell választani 3 embert, erre lehetőség van. Mindkét sorban 4! a három ember és a páros lehetséges sorrendjeinek a száma. Mindkét páros tagjai egymással helyet cserélhetnek.
Ez 2.20.4!.4!.2.2=92160.
Azoknak az eseteknek a száma, mikor Ábeléken kívül még Zsuzsi és Anikó is együtt ül 34560+92160=126720.
Tehát 645120-92160=518400 a lehetséges elhelyezkedések száma.
Statisztika:
393 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 105 versenyző. 4 pontot kapott: 64 versenyző. 3 pontot kapott: 49 versenyző. 2 pontot kapott: 38 versenyző. 1 pontot kapott: 45 versenyző. 0 pontot kapott: 58 versenyző. Nem versenyszerű: 34 dolgozat.
A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai