A C. 936. feladat (2008. március)

C. 936. Adjuk meg az összes olyan pozitív egész számot, amelynek ugyanannyi hattal osztható osztója van, mint ahány hattal nem osztható.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Egy ilyen n szám prímtényezős felbontása $n=2^x3^y\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ alakú kell, hogy legyen, ahol p_i-k 2-től és 3-tól különböző prímek. A 6-tal osztható osztók száma: $x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)$ , tehát a feltétel alapján $2x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)=(x+1)(y+1)(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)$ . Egyszerűsítés és összevonás után az xy=x+y+1 diofantoszi egyenlet adódik. Ebből x-et kifejezve (mivel y=1 nem megoldás, ezért oszthatunk (y-1)-gyel): $x=\frac{y+1}{y-1}=\frac{y-1+2}{y-1}=1+\frac{2}{y-1}$ . Mivel x és 1 egész, ezért $\frac{2}{y-1}$ is egész kell, hogy legyen, így y-1 lehetséges értékei: -2, -1, 1, 2. Ebből y lehetséges értékei: -1, 0, 2, 3. Ezek közül a -1 nem jó. A megfelelő x értékek: -1 (ez nem lehet), 3, 2.

A megoldások: $n_1=2^33^2\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ és $n_2=2^23^3\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ , tehát a 72-vel, vagy 108-cal osztható számok adják a megoldást.

Statisztika:

139 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Besnyő Réka, Bogár Blanka, Boros 001 Ágnes, Börcsök Zsuzsa, Fónagy 092 Fanni, Kardos Péter, Kis-Pál Tamás, Kitzinger Andor, Kovács 125 András, Kunos Vid, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mihálka Éva Zsuzsanna, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pintér Barbara, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.

4 pontot kapott: 47 versenyző.

3 pontot kapott: 15 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 6 versenyző.

0 pontot kapott: 40 versenyző.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai

139 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Besnyő Réka, Bogár Blanka, Boros 001 Ágnes, Börcsök Zsuzsa, Fónagy 092 Fanni, Kardos Péter, Kis-Pál Tamás, Kitzinger Andor, Kovács 125 András, Kunos Vid, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mihálka Éva Zsuzsanna, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pintér Barbara, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.
4 pontot kapott:	47 versenyző.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	40 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?