A C. 937. feladat (2008. március)

C. 937. Egy négyszög három oldala rendre $a=4\sqrt3$ , b=9 és $c=\sqrt3$ . Az a és b oldalak által bezárt szög 30^o, a b és c oldalak által bezárt szög pedig 90^o. Mekkora szöget zárnak be a négyszög átlói?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Állítsunk D-ben merőlegest AD-re, és ennek az AB oldallal vett metszéspontja legyen E. Mivel az ADE háromszögben DAE $\angle$ =30^o és ADE $\angle$ =90^o, ezért a háromszög harmadik szöge, AED $\angle$ =60^o, és AD ismeretében DE és AE is meghatározható: $AE=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3/2}=8$ , illetve DE=AE/2=4.

Ezután kössük össze E-t a C ponttal. Az EBC háromszög derékszögű, befogói $\sqrt3$ és 1 hosszúak, így átfogója, EC=2, és ez a háromszög is egy szabályos háromszög fele, CEB $\angle$ =60^o és ECB $\angle$ =30^o.

A DEC háromszög oldalai: EC=2, ED=4 és $CD=2\sqrt3$ , tehát ez is egy szabályos háromszög fele, DEC $\angle$ =60^o, DCE $\angle$ =90^o és EDC $\angle$ =30^o.

Tekintsük ezután az ADC és a DCB háromszöget. A két háromszög hasonló, hiszen $\frac{AD}{DC}=\frac{DC}{CB}$ és ADC $\angle$ =DCB $\angle$ =90^o+30^o=120^o, tehát két oldaluk aránya és az általuk közrezárt szög megegyezik. Ez azt jelenti, hogy van olyan középpontos hasonlósági transzformáció, amely az ADC háromszöget a DCB háromszögbe viszi. Mivel az AD és a DC egyenesek által bezárt szög 180^o-120^o=60^o, ezért az AC és a DB egyenesek által bezárt szög is 60^o.

Statisztika:

224 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 138 versenyző.

4 pontot kapott: 60 versenyző.

3 pontot kapott: 10 versenyző.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai

224 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	138 versenyző.
4 pontot kapott:	60 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?