Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 937. feladat (2008. március)

C. 937. Egy négyszög három oldala rendre a=4\sqrt3, b=9 és c=\sqrt3. Az a és b oldalak által bezárt szög 30o, a b és c oldalak által bezárt szög pedig 90o. Mekkora szöget zárnak be a négyszög átlói?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Állítsunk D-ben merőlegest AD-re, és ennek az AB oldallal vett metszéspontja legyen E. Mivel az ADE háromszögben DAE\angle=30o és ADE\angle=90o, ezért a háromszög harmadik szöge, AED\angle=60o, és AD ismeretében DE és AE is meghatározható: AE=\frac{4\sqrt3}{\sqrt3/2}=8, illetve DE=AE/2=4.

Ezután kössük össze E-t a C ponttal. Az EBC háromszög derékszögű, befogói \sqrt3 és 1 hosszúak, így átfogója, EC=2, és ez a háromszög is egy szabályos háromszög fele, CEB\angle=60o és ECB\angle=30o.

A DEC háromszög oldalai: EC=2, ED=4 és CD=2\sqrt3, tehát ez is egy szabályos háromszög fele, DEC\angle=60o, DCE\angle=90o és EDC\angle=30o.

Tekintsük ezután az ADC és a DCB háromszöget. A két háromszög hasonló, hiszen \frac{AD}{DC}=\frac{DC}{CB} és ADC\angle=DCB\angle=90o+30o=120o, tehát két oldaluk aránya és az általuk közrezárt szög megegyezik. Ez azt jelenti, hogy van olyan középpontos hasonlósági transzformáció, amely az ADC háromszöget a DCB háromszögbe viszi. Mivel az AD és a DC egyenesek által bezárt szög 180o-120o=60o, ezért az AC és a DB egyenesek által bezárt szög is 60o.


Statisztika:

224 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:138 versenyző.
4 pontot kapott:60 versenyző.
3 pontot kapott:10 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai