 |
A C. 938. feladat (2008. március) |
C. 938. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számpárok halmazán:
(x+2)4-x4=y3.
Javasolta: Fülöp Dóra (Marcali, Berzsenyi D. Gimn., 11. o. t.)
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Alakítsuk át a bal oldalt:
[(x+2)-x][(x+2)3+(x+2)2.x+(x+2).x2+x3]=2(4x3+12x2+16x+8)=
=8(x3+3x2+4x+2)=8((x+1)3+(x+1))=23.(x+1)((x+1)2+1).
Mivel x+1 és (x+1)2+1 relatív prímek, ezért ez csak úgy lehet köbszám, ha mindkettő külön-külön az. Ha x+1=a3, akkor b3=(x+1)2+1=(a3)2+1=(a2)3+1. Vagyis két olyan köbszámot keresünk, amelyek között 1 a különbség. Ilyen csak a -1 és a 0, illetve a 0 és az 1.
I. eset: x+1=-1, amiből x=-2, de ekkor (x+1)2+1
0.
II. eset: x+1=0, amiből x=-1, és ekkor (x+1)2+1=1 is teljesül. Ebből pedig y3=0 miatt y=0 következik.
A feladatnak egy megoldása van: x=-1, y=0.
Statisztika:
174 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 90 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 25 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai