A C. 939. feladat (2008. március)

C. 939. Egy téglalapot, amelynek oldalai 15 cm és 20 cm hosszúak, megforgatjuk egyik átlója körül. Mekkora a kapott forgástest térfogata?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A téglalap átlója a Pitagorasz-tétel felhasználásával $\sqrt{15^2+20^2}=25$ cm hosszú. Az átlónak a téglalap szimmetria-középpontjától a csúcsig terjedő szakasza ennek fele, vagyis 12,5 cm.

Az átló a téglalapot két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Ezek magassága a területképletek felhasználásával számolható: $t=\frac{15\cdot20}{2}=\frac{25\cdot m}{2}$ , és így m=12. A magasság által a téglalap feléből levágott kisebb derékszögű háromszög hasonló a 15, 20, 25 oldalú háromszöghöz, hiszen szögeik megegyeznek. A hasonlóságból következik, hogy megfelelő oldalaik aránya egyenlő. A magasság által az átfogóból levágott rövidebb szakaszt jelölje y. Ekkor: $\frac {12}{y}=\frac{20}{15}$ , ahonnan y=9.

Az átló felének a középpontig terjedő maradék része 12,5-9=3,5 cm hosszú.

A forgatás végeredménye ugyanaz, mintha a zölddel és a pirossal jelölt részeket forgatnánk meg az átló körül. A térfogat kiszámításához ki kell még számítanunk x-et: $\frac{x}{12}=\frac{12,5}{25-9}$ , és így x=9,375.

Így a térfogat:

$V=2\cdot\left[\frac{12^2\pi\cdot9}{3}+\left(\frac{12^2\pi\cdot(25-9)}{3}-\frac{9,375^2\pi\cdot12,5}{3}\right)\right]\approx 5238,85~cm^2.$

Statisztika:

205 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 121 versenyző.

4 pontot kapott: 40 versenyző.

3 pontot kapott: 21 versenyző.

2 pontot kapott: 11 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

Nem versenyszerű: 10 dolgozat.

A KöMaL 2008. márciusi matematika feladatai

205 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	121 versenyző.
4 pontot kapott:	40 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?