Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 953. feladat (2008. szeptember)

C. 953. Egy derékszögű trapézba kör írható. Igazoljuk, hogy a derékszögű szár hossza harmonikus közepe az alapok hosszának.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A kör középpontját jelölje O, az O-ból a trapéz nem derékszögű szárára állított merőleges talppontját T, az alapokra emelt merőlegesek talppontját pedig R, illetve S.

DC a kör érintője, így merőleges SO-ra. Ugyanígy AB merőleges RO-ra. Mivel DC\parallel AB, ezért az O-ból rájuk állított merőlegesek egy egyenesbe esnek: S, O és R egy egyenesen vannak. Az ARSD négyszög téglalap, hiszen szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Ezért AD=RS=2r. Mivel egy pontból a körhöz húzott érintési szakaszok hossza egyenlő, ezért az ábrán látható szakaszok keletkeznek, hosszukat jelölje r (ami egyenlő a beírt kör sugarával), illetve x és y.

COB\angle=180o-(DCB\angle/2+ABC\angle/2)=180o-90o=90o. A COB háromszögre alkalmazva a magasságtételt kapjuk, hogy r2=xy.

Az alapok hosszának harmonikus közepét felírva, majd átalakítva:

\frac{2}{\frac{1}{r+x}+\frac{1}{r+y}}=

=\frac{2(r+x)(r+y)}{r+y+r+x}=\frac{2(r^2+r(x+y)+xy)}{2r+(x+y)}=

=\frac{2(r^2+r(x+y)+r^2)}{2r+(x+y)}=\frac{4r^2+2r(x+y)}{2r+(x+y)}=2r,

ami épp a derékszögű szár hossza.


Statisztika:

383 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:237 versenyző.
4 pontot kapott:64 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:13 versenyző.
1 pontot kapott:12 versenyző.
0 pontot kapott:41 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai