Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 957. feladat (2008. október)

C. 957. Egy téglalap oldalai a és b. A téglalapban két egybevágó kört helyezünk el úgy, hogy nincs közös belső pontjuk. Mekkora a téglalap oldalainak aránya, ha a legnagyobb ilyen körök átmérője:


d=\frac25\,a+\frac16\,b?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.


Megoldás. I. eset: a két kör csak "ferdén" fér bele az ABCD téglalapba. Jelölje a téglalapba rajzolt két kör középpontját E és G. Húzzuunk párhuzamost AB-vel E-n keresztül és BC-vel G-n keresztül, ezek metszéspontja legyen F, a téglalap oldalaival vett metszéspontok pedig az ábra szerint H, I, J és K.

Mivel AH=IB=r, így HI=AB-2r. A párhuzamosság miatt HIFE téglalap, így EF=HI. Tehát EF=AB-2r.

Hasonlóan belátható, hogy FG=BC-2r.

Legyen AB=a, BC=b és tekintsük az EFG derékszögű háromszöget. (Mivel FG\parallel BC és EF\parallel AB és AB\perp BC, ezért AF\perp FG.) Írjuk fel rá a Pitagorasz-tételt:

(2r)2=(b-2r)2+(a-2r)2.

Használjuk fel, hogy 2r=\frac25a+\frac16b. Ezzel az egyenlet így alakul:

\left(\frac25a+\frac16b\right)^2=\left(\frac56b-\frac25a\right)^2+\left(\frac35a-\frac16b\right)^2,

amit tovább alakítva kapjuk, hogy:

0=\frac{9}{25}a^2+\frac{25}{36}b^2-ab.

Az egyenlet mindkét oldalát osztva a2-tel és szorozva 25.36-tal kapjuk, hogy:

0=625\cdot\left(\frac ba\right)^2-900\cdot\frac ba+324,

amiből \frac ba=\frac{18}{25}.

Ezekkel az adatokkal mind a-2r, mind b-2r pozitív lesz, tehát lehetséges elrendezést kapunk.

II. eset: b>a, és mindkét kör átmérője a-val egyenlő. Ekkor:

a=\frac25a+\frac16b,

amiből

\frac ba=\frac{18}{5}.

III. eset: b<a, és mindkét kör átmérője b-vel egyenlő. Ekkor:

b=\frac25a+\frac16b,

amiből

\frac ab=\frac{25}{12}.


Statisztika:

328 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Al-Taani Szábit, Bálint Csaba, Bárány Ambrus, Benyó Krisztián, Berghammer Tamás, Blóz Gizella Evelin, Böröcz 369 Bence, Csere Kálmán, Demeter Balázs, Egyed Zsombor, Farkas Zsuzsanna, Gubicza Krisztina, Handler Balázs, Karkus Zsuzsa, Kis-Pál Tamás, Lőrincz Dóra, Nagy-György Péter, Németh Nóra, Orosz Ákos, Pálovics Péter, Poócza Eszter, Pósfai Balázs, Regele János, Sáfár Kinga, Samu Viktor, Somogyi Ákos, Szepesvári Eszter, Szepesvári Réka, Tolnai Dániel, Várnai Péter, Végh János, Zsupanek Alexandra.
4 pontot kapott:Árvay Balázs, Botond Ákos, Csanády Bálint Zsombor, Finok Orsi, Gaizer Bence, Gergely Lívia, Lantos Tamás, Máté Márta, Mayer Martin János, Medvey Fanni, Mihálka Éva Zsuzsanna, Morapitiye Sunil, Németh 144 Bálint, Orbán Réka, Schwarcz Gergő, Sváb Gergely, Vajda Ildikó.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:77 versenyző.
1 pontot kapott:120 versenyző.
0 pontot kapott:67 versenyző.
Nem versenyszerű:8 dolgozat.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai