Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 964. feladat (2008. november)

C. 964. A tavalyi labdarúgó Bajnokok Ligájában először fordult elő, hogy egy nemzetből, Angliából négy csapat (Arsenal, Chelsea, Liverpool és Manchester United) is a legjobb nyolc közé jutott. A legjobb nyolc csapatot vaksorsolással négy párba sorolták, minden párból a győztes jutott a legjobb négy közé.

a) Egyes angol szurkolók azt szerették volna, ha az angol csapatok elkerülik egymást, így lehetőség nyílt volna arra, hogy akár mind a négy csapat a legjobb négy közé jusson. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

b) Más angol szurkolók azt szerették volna, ha két-két angol csapatot összesorsolnak egy párba, hiszen így két csapatuk biztosan bejuthatott volna a legjobb négy közé. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

c) A sorsoláskor végül is két angol csapatot összesorsoltak, a másik kettő nem angol ellenfelet kapott. Mekkora egy ilyen párosítás valószínűsége?

Javasolta: Koncz Levente

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: a) Az általánosság megszorítása nélkül megtehetjük, hogy először az Arsenalnak sorsolunk ellenfelet. Annak valószínűsége, hogy ez az ellenfél nem angol lesz \frac47, hiszen a lehetséges 7 ellenfél közül 4 nem angol. Ezek után válasszunk a Chelsea-nek ellenfelet, hasonló meggondolás alapján \frac35 annak valószínűsége, hogy a kisorsolt ellenfél nem angol. Ezek után a Liverpoolnak sorsolunk ellenfelet, ez az ellenfél \frac23 valószínűséggel nem angol. Ha 3 angol csapat ellenfele nem angol, akkor már a negyedik angol csapatra is teljesül ugyanez. Így annak valószínűsége, hogy minden angol csapat nem angol ellenfelet kap: p=\frac47\cdot\frac35\cdot\frac23=\frac{8}{35}\approx0,229.

b) Ismét először az Arsenalnak sorsoljunk ellenfelet. Annak valószínűsége, hogy ez az ellenfél angol lesz \frac37, hiszen a lehetséges 7 ellenfél közül 3 angol. Ezek után válasszunk egy másik, még megmaradt angol csapatnak ellenfelet, hasonló meggondolás alapján \frac15 annak valószínűsége, hogy a kisorsolt ellenfél angol. Ezek után a maradék négy nem angol csapat már tetszőlegesen párosítható. Így annak valószínűsége, hogy minden angol csapat angol ellenfelet kap p=\frac37\cdot\frac15=\frac{3}{35}\approx0,086.

c) Az a, b és c feladatokban említett három esemény teljes eseményrendszert alkot, hiszen közülük bármely sorsolás esetén pontosan az egyik következik be. Így annak valószínűsége, hogy éppen két angol csapatot sorsolnak össze: p=1-\frac{8}{35}-\frac{3}{35}=\frac{24}{35}\approx0,686.

Statisztika:

256 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:118 versenyző.
4 pontot kapott:26 versenyző.
3 pontot kapott:26 versenyző.
2 pontot kapott:25 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:46 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai