Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 973. feladat (2009. január)

C. 973. Oldjuk meg az 1+cos 3x=2cos 2x egyenletet.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.


Megoldás. Tudjuk, hogy cos 2x=2cos2x-1 és sin 2x=2sin xcos x. Ezek felhasználásával cos 3x felírható cos x függvényeként:

cos 3x=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x.

Így a megoldandó egyenlet:

4cos3x-3cos x+1=4cos2x-2,

amit rendezve a következő harmadfokú egyenlethez jutunk:

4cos3x-4cos2x-3cos x+3=0.

Ennek a cos x=1 gyöke. Ekkor x1=2k\pi, ahol k\in \Bbb Z. A bal oldalt szorzattá bontva:

(cos x-1)(4cos2x-3).

A másik gyök tehát a \cos^2 x=\frac34 alakból nyerhető, amiből \cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}, és innen

x_2=\pm\frac{\pi}{6}+l\pi,~~{\rm ahol}~~l\in \Bbb Z.


Statisztika:

213 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:122 versenyző.
4 pontot kapott:35 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:8 versenyző.
0 pontot kapott:20 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai