Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 984. feladat (2009. március)

C. 984. Egy pozitív számokból álló számtani sorozat nem feltétlenül egymást követő tagja a, b és c. Tudjuk, hogy


\frac{c-b}{a}+ \frac{a-c}{b}+ \frac{b-a}{c}=0.

Adjuk meg a sorozat differenciáját.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Mindkét oldalt abc-vel szorozva, majd a tagokat alakítva kapjuk, hogy:

0=(c-b)bc+(a-c)ac+(b-a)ab=c2b-b2c+a2c-c2a+b2a-a2b=

=c2(b-a)+ab(b-a)+c(a2-b2)=c2(b-a)+ab(b-a)+c(a-b)(a+b)=

=(b-a)(c2+ab-ac-bc)=(b-a)[(c(c-a)+b(a-c)]=

=(b-a)(c-a)(c-b).

Ez akkor 0, ha a=b, a=c vagy b=c. Mivel a, b és c egy számtani sorozat három különböző eleme, ezért mindhárom esetben a két tag egyenlőségéből következik, hogy a differencia 0.


Statisztika:

141 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:106 versenyző.
4 pontot kapott:5 versenyző.
3 pontot kapott:6 versenyző.
2 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:7 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai