A C. 995. feladat (2009. szeptember)

C. 995. Igazoljuk, hogy az

egyenletrendszernek van olyan megoldása, amely nem függ a c paraméter értékétől.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenletrendszer megoldásakor (a sorokat megszámozva) 1. + 2.: x=2, ezzel 1'.: y=2z+2 és 3'.: cy=-3z-3. \(\displaystyle c\cdot\)1'.-3'.: (2c+3)(z+1)=0 , ahonnan Ha \(\displaystyle z=-1\) és \(\displaystyle y=0\), akkor tetszőleges \(\displaystyle c\) valós szám esetén megoldottuk az egyenletrendszert. Ha \(\displaystyle y\ne 0\) (vagy \(\displaystyle z\ne -1\)), akkor \(\displaystyle c=-\frac 32\). Ebben az esetben végtelen sok megoldás-hármast kapunk: (2; t+1; t) alakban, ahol \(\displaystyle t\) tetszőleges valós szám.

Tehát összegezve van pontosan egy olyan megoldás-hármas, amely tetszőleges \(\displaystyle c\)-re megoldás. A második esetben a végtelen sok megoldáshármas nem \(\displaystyle c\) függvénye, de csak pontosan egy \(\displaystyle c\) értéknél igaz, ily módon függ tőle.

Statisztika:

487 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	435 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai