A C. 996. feladat (2009. szeptember)

C. 996. Adott a síkon hat különböző pont úgy, hogy bármely négy kiválasztott pont közül legalább három egy egyenesen van. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a pontok közül legalább öt egy egyenesre illeszkedik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a pontjaink A, B, C, D, E és F. Az ABCD pontnégyesből legyen ABC egy egyenesen (jelöljük e-vel). Ekkor az ABCE és ABCF pontnégyesben E és F lehet e-n kívül. Ha ADEF (vagy BDEF vagy CDEF) pontnégyest tekintjük, akkor 2 eset lehetséges: DEF egy egyenesen vannak (f). Válasszunk e-ről és f-ről két-két olyan pontot, melyek egyike sem e és f metszéspontja. Csak akkor lehet legalább három egy egyenesen, ha mind a négy pont egy egyenesen van, azaz e=f. Ekkor mind a hat pont egy egyenesen van. Ha ADE vannak egy egyenesen (g), (F-ről még nem tudunk semmit). Ha g=e, akkor készen vagyunk. Tegyük fel, hogy különböznek, közös pontjuk csupán A. Azonban BCDE-ből is legalább három egy egyenesen van, ami nem lehetséges, különben volna e-nek és g-nek A-tól különböző metszéspontja. Tehát ABCDE mind illeszkednek e-re.

Statisztika:

350 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	95 versenyző.
4 pontot kapott:	46 versenyző.
3 pontot kapott:	41 versenyző.
2 pontot kapott:	45 versenyző.
1 pontot kapott:	71 versenyző.
0 pontot kapott:	46 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai