A C. 998. feladat (2009. szeptember)

C. 998. Az A, B, C és D pontok ebben a sorrendben egy egyenesre illeszkednek, és AB=BC. Állítsunk B-ben és C-ben az AD-re merőlegest. A B-ben állított merőleges az AD átmérőjű kört P-ben és Q-ban, a C-ben állított merőleges a BD átmérőjű kört a K és L pontokban metszi. Igazoljuk, hogy a P, K, L és Q pontokra illeszkedő kör középpontja B.

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladatbeli egyenesek, körök, metszéspontok mind szimmetrikusak az \(\displaystyle AD\) egyenesre (mert \(\displaystyle PQ\) és \(\displaystyle KL\) egyenese merőleges \(\displaystyle AD\)-re, a köröknek pedig centrálisa.) Legyenek \(\displaystyle AB=BC=a\) és \(\displaystyle CD=b\) a szakaszok hosszai. Így \(\displaystyle AD=2a+b\) és \(\displaystyle BD=a+b\) az átmérők. Az \(\displaystyle APD\) háromszög és a \(\displaystyle BKD\) háromszög derékszögű (Thálesz-tétel). Az \(\displaystyle APB\) háromszögben \(\displaystyle PB\) magasság a feladat szerint, és a magasság-tételt felírva \(\displaystyle PB=\sqrt{AB \cdot BD}=\sqrt{a(a+b)}\). \(\displaystyle BKD\) háromszögben a befogótételt használva \(\displaystyle BK=\sqrt{BC \cdot CD}=\sqrt{a(a+b)}\). Tehát \(\displaystyle BP=BK\) és a szimmetria miatt \(\displaystyle BP=BL=BQ\), azaz \(\displaystyle P\), \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle Q\) pontok mind ugyanakkora távolságra vannak \(\displaystyle B\)-től, azaz a \(\displaystyle B\) középpontú \(\displaystyle \sqrt{a(a+b)}\) sugarú körben \(\displaystyle PKLQ\) húrnégyszög.

Statisztika:

292 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	152 versenyző.
4 pontot kapott:	58 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	58 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai