A C. 999. feladat (2009. szeptember)

C. 999. Fej vagy írást játszunk a következőképpen: Négyszer dobunk és utána még annyiszor, ahány fej volt az első négy dobás során. Mennyi annak a valószínűsége, hogy összes dobásunk közül legalább 5 fej lesz?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legalább 5 fejet csak akkor dobhatunk, ha első körben 3 vagy 4 fejet dobunk.

Első eset: 3 fejet dobunk. Az összes lehetőség $\displaystyle 2^4$ db, ebből a 3 fej négyféleképpen jöhet ki (attól függően, hogy hányadiknak dobtuk az egyetlen írást). Ezután még dobhatunk háromszor. Ott legalább két fejet kell elérnünk, hogy a feltétel teljesüljön. A második körben az összes eset $\displaystyle 2^3$ db, legalább 2 fej 4 esetben jöhet ki.

Második eset: 4 fejet dobunk. Ez egyetlen módon jöhet ki a $\displaystyle 2^4$ esetből. A második körben legalább 1 fejre van szükségünk, ez $\displaystyle 2^4-1$ módon jöhet ki (kizárva az egyetlen rossz esetet: a csupa írást).

$\displaystyle \frac{4}{2^4} \cdot \frac{4}{2^3} + \frac{1}{2^4} \cdot \frac{2^4-1}{2^4}= \bf \frac{47}{256}$

$\displaystyle \frac{47}{256}$ a valószínűsége, hogy legalább 5 fej lesz az összes dobásunk közül.

Statisztika:

399 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	120 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	219 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai