 |
A G. 754. feladat (2021. október) |
G. 754. Újsághír 2021. március 20-án: ,,Alacsony, Föld körüli pályán, vagyis 800-tól 2000 kilométerig tartó magasságban kering az űrszemét nagy többsége 28000 km/h-s sebességgel.''
\(\displaystyle a)\) Milyen magasságban keringhet az űrszemét 28000 km/h sebességgel?
\(\displaystyle b)\) Milyen sebességgel keringhet az űrszemét 800-tól 2000 kilométerig tartó magasságban?
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Számítsuk ki mondjuk az Egyenlítő felett \(\displaystyle h\) magasságban körpályán keringő űrszemét sebességét. Az Egyenlítő sugara: \(\displaystyle R=6378\) km, a nehézségi gyorsulás az Egyenlítőn \(\displaystyle g_0=9{,}78\) m/s\(\displaystyle ^2\). Tudjuk, hogy a nehézségi gyorsulás (egységnyi tömegű testre ható gravitációs erő) a Föld középpontjától mért távolság négyzetével fordítottan arányos. Így a földfelszíntől számított \(\displaystyle h\) magasságban a nehézségi gyorsulás:
\(\displaystyle g(h)=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2 g_0.\)
A keringés sebességét \(\displaystyle h\) magasságban a Newton-egyenlet határozza meg:
\(\displaystyle \frac{v^2 }{R+h}=g(h),\)
vagyis
\(\displaystyle \left(\frac{v_0}{v}\right)^2-1=\frac{h}{R},\)
ahol
\(\displaystyle v_0=\sqrt{g_0R}=7{,}9~\frac{\rm km}{\rm s}=28\,400~\frac{\rm km}{\rm h}\)
az ún. első kozmikus sebesség. Ennek megfelelően a \(\displaystyle 28\,000\) km/h keringési sebességhez
\(\displaystyle h=\left[\left(\frac{28\,400}{28\,000} \right)^2-1\right]\cdot 6378~{\rm km}\approx 180~\rm km\)
magasság tartozik.
\(\displaystyle b)\) A magasságból a keringési sebesség így számítható ki:
\(\displaystyle v(h)=v_0\sqrt{\frac{R}{R+h}}.\)
Ennek megfelelően
\(\displaystyle v(800~\rm km) \approx 27\,000~\frac{\rm km}{\rm h},\)
illetve
\(\displaystyle v(2000~\rm km) \approx 25\,000~\frac{\rm km}{\rm h}.\)
Az újság tehát meglehetősen pongyolán – mondhatni hibásan – adta meg a keringési sebesség és a magasság között összefüggést.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Kovács Klára, Sütő Áron, Téglás Dorka. 3 pontot kapott: Bocor Gergely, Csilling Dániel, Csóka Péter, Hruby Laura, Klement Tamás, Marosi Botond Máté, Merics Vilmos, Sós Ádám. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2021. októberi fizika feladatai